Feladat: Gy.2978 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bakonyi Gábor ,  Bárány Kristóf ,  Barát Anna ,  Bartha Sándor ,  Czirok Levente ,  Deli Tamás ,  Farkas Zoltán ,  Fejős Ibolya ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Gombár Zsolt ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Madarász József ,  Maláti István ,  Mile Veronika ,  Nagy Attila ,  Nyilas Gábor ,  Nyul Gábor ,  Paál Krisztina ,  Pap Gyula ,  Papp Ágnes ,  Papp Eszter ,  Pintér Dömötör ,  Poronyi Gábor ,  Puskás Péter ,  Serény András ,  Simanovszky Zoltán ,  Székely László ,  Újhelyi Tamara ,  Verebes Boglárka ,  Vőneki Csaba ,  Völgyi István 
Füzet: 1996/január, 17 - 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Thalesz-kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/március: Gy.2978

Adott egy kör, annak egy átmérője és egy, az átmérő egyenesére nem illeszkedő pont. Szerkesszünk a pontból merőlegest az átmérőre egyetlen egyélű vonalzót használva.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott pontot P-vel, az adott átmérő végpontjait pedig A-val és B-vel. Legyen az AP, illetve BP egyenesnek és a körnek a második metszéspontja C, illetve D, a BC és AD egyenesek metszéspontja pedig M (1. és 2. ábra). Megmutatjuk, hogy MP merőleges AB-ra.
Thalész tétele alapján ACB=BDA=90; tehát az APB háromszögben AD és BC magasságvonalak. Ezért metszéspontjuk, M, a háromszög magasságpontja. Azaz MP a háromszög harmadik magasságvonala, ezért merőleges AB-re.
Az előzőekben leírt szerkesztést csak akkor lehet végrehajtani, ha P nincs rajta a körön, továbbá PA és PB nem érintői a körnek. Ha PA vagy PB érintő, akkor merőleges a hozzá tartozó sugárra, vagyis az AB átmérőre. Így ebben az esetben a keresett merőleges P és A vagy B összekötésével megszerkeszthető.
Ha P rajta van a körvonalon, akkor vegyünk fel egy, a kör belsejében lévő és AB-re nem illeszkedő S pontot (3. ábra). Az előzőekben leírtak alapján szerkesszük meg az S-en átmenő, AB-re merőleges egyenest. Mivel S belső pont, ezért ez az egyenes két pontban, T-ben és T'-ben metszi a kört. Kössük össze T-t P-vel, legyen ennek az egyenesnek és AB-nek a metszéspontja U. (Ha TPAB, akkor válasszunk egy másik S pontot.)
Kössük össze U-t T'-vel, messe ez az egyenes a kört másodszor a P' pontban. A szerkesztésből következik, hogy PT-nek AB-re vonatkozó tükörképe P'T', vagyis a PP' egyenes merőleges AB-re.
Ezzel a feladatot megoldottuk.
 Papp Ágnes (Kecskemét, Református Gimn., II. o.t.)

 
Megjegyzés. A beküldők közül többen feltették, hogy a kör középpontja is ismert. Erre a szerkesztés elvégzéséhez nincs szükség.