Feladat: Gy.2973 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Frenkel Péter ,  Gröller Ákos ,  Király Csaba ,  Lippner Gábor ,  Makai Márton ,  Nyakas Péter ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Reviczky Katalin ,  Urbancsek Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Véber Miklós 
Füzet: 1995/december, 526. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Gömbi geometria, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/február: Gy.2973

Egy kocka alakú sajtban 5 darab egymást nem metsző gömb alakú lyuk van. Mutassuk meg, hogy felosztható a sajt pontosan 5 részre úgy, hogy minden részben van egy lyuk, és a részeket az eredeti helyükre visszatéve, az egyes részek határoló lapjai ─ a kocka lapsíkjaival együtt ─ legfeljebb 16 síkhoz tartoznak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden lyukpárhoz tekintsünk egy olyan síkot, amely elválasztja őket. Mivel a lyukak egymást nem metsző gömbök, ilyen sík van, pl. a középpontokat összekötő egyenesre merőleges síkok közül az, amely mindkét gömbtől azonos távolságra van. Az így kapott (legfeljebb) 542=10 sík mentén vágjuk fel a sajtot. Így elérjük, hogy minden részbe legfeljebb egy lyuk ér bele (ha valamelyikbe két lyuk esne, azt felvágtuk volna a lyukakat elválasztó síkkal). Ezután ragasszuk össze azokat a ‐ nyilván szomszédos ‐ darabokat, amelyek ugyanazon lyukba metszenek bele. Ekkor kapunk öt olyan sajtdarabot, amelyek egy-egy lyukat teljes egészében tartalmaznak, és néhány lyuk nélkülit. Utolsó lépésként ezeket a lyuk nélküli darabokat ragasszuk sorban valamelyik velük szomszédos lyukas részhez.
Ekkor öt sajtdarabot kapunk, amelyek mindegyike pontosan egy lyukat tartalmaz, és uniójuk az egész sajtot kiadja, határolósíkjuk pedig csak a kocka lapsíkjai és a 10 kiválasztott sík közül kerülhetnek ki. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

 Gröller Ákos (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)