|
Feladat: |
F.3099 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Brezovich László , Cheri Enikő , Elek Péter , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gerő Tamás Miklós , Gyenes Zoltán , Hegyi Barnabás , Huszár Gergely , Juhász Zsófia , Kocsis Zoltán , Koncz Imre , Kováts Mónika , Krajcsovicz Éva , Rozmán András , Szabó Jácint , Szita István , Szobonya László , Terék Zsolt , Vaszil Krisztina , Visontai Mirkó , Vörös Zsuzsa , Zakariás Ildikó |
Füzet: |
1996/április,
222 - 224. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sík egyenlete, Vetítések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/december: F.3099 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a feladatban említett síkot -sel. A torz négyszög oldalainak -sel közös pontjai legyenek , , , az ábra szerint. Vetítsük merőlegesen a torz négyszög csúcsait az síkra, a vetületi pontok legyenek , , , . A feladat feltételei szerint egyik pont sem esik egybe a vetületével, ezért pl. , tehát a párhuzamos szelők tétele szerint . Hasonlóan kapjuk, hogy , , . A négy aránypár szorzata:
| | Ugyanezt az eredményt kapjuk a másik körüljárási iránnyal.
Formanek Csaba (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o.t.) |
II. megoldás. Vegyünk fel egy térbeli koordinátarendszert úgy, hogy abban az sík egyenlete legyen. A torz négyszög csúcsainak koordinátáit jelöljük így: , , , . Az osztási arány pl. az oldalon legyen , azaz , a többi arány ugyanígy , , . Mivel pl. az pont illeszkedik a egyenletű síkra, koordinátája , és így az osztópont koordinátáira vonatkozó képlet szerint , amiből . Ugyanígy kapjuk, hogy , , . Nyilván egyik se zérus, hiszen a torz négyszög csúcsai nem illeszkednek az síkra. A négy arányszám szorzata: | | Szita István (Körmend, Kölcsei F. Gimn., III. o.t.) |
III. megoldás. Tekintsük az első megoldáshoz készített ábrát. Az , , és pontok egy síkban vannak, ezért az és egyenesek metszik egymást, vagy párhuzamosak. Az első esetet tekintve, legyen a metszéspont . Az , és pontok egyfelől benne vannak az síkban, másfelől illeszkednek a , , pontok által meghatározott síkra. Ez a két sík feltételeink szerint különböző, tehát az , és egy egyenesen van, éspedig e két sík metszésvonalán. Alkalmazzuk ezután az háromszögre és az egyenesre, valamint a háromszögre és az egyenesre a Menelaosz-tételt: | | A két egyenlet szorzatából: | |
A négy arányszám szorzata tehát 1. Hátravan még az az eset, amikor . Ekkor , aminek következtében . Alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételét az , illetve háromszögekre: | | ahol a szereplő szakaszok nem szükségképpen irányított szakaszok. A két egyenlőségből:
Szabó Jácint (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzés: Könnyen látható, hogy az első két megoldás lényegében ugyanaz, csak az alkalmazott eszköz más.
|
|