Kezdőlap


Feladat:	F.3099	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Brezovich László , Cheri Enikő , Elek Péter , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gerő Tamás Miklós , Gyenes Zoltán , Hegyi Barnabás , Huszár Gergely , Juhász Zsófia , Kocsis Zoltán , Koncz Imre , Kováts Mónika , Krajcsovicz Éva , Rozmán András , Szabó Jácint , Szita István , Szobonya László , Terék Zsolt , Vaszil Krisztina , Visontai Mirkó , Vörös Zsuzsa , Zakariás Ildikó
Füzet:	1996/április, 222 - 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sík egyenlete, Vetítések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: F.3099

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a feladatban említett síkot

S

-sel. A torz négyszög oldalainak

S

-sel közös pontjai legyenek

E

F

G

H

az ábra szerint. Vetítsük merőlegesen a torz négyszög csúcsait az

S

síkra, a vetületi pontok legyenek

A'

B'

C'

D'

. A feladat feltételei szerint egyik pont sem esik egybe a vetületével, ezért pl.

A A' ‖ B B'

, tehát a párhuzamos szelők tétele szerint

\frac{A E}{E B} = \frac{A A'}{B B'}

. Hasonlóan kapjuk, hogy

\frac{B F}{F C} = \frac{B B'}{C C'}

\frac{C G}{G D} = \frac{C C'}{D D'}

\frac{D H}{H A} = \frac{D D'}{A A'}

. A négy aránypár szorzata:

\begin{matrix} \frac{A E}{E B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C G}{G D} \cdot \frac{D H}{H A} = \frac{A A'}{B B'} \cdot \frac{B B'}{C C'} \cdot \frac{C C'}{D D'} \cdot \frac{D D'}{A A'} = 1. \end{matrix}

Ugyanezt az eredményt kapjuk a másik körüljárási iránnyal.

Formanek Csaba (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o.t.)

II. megoldás. Vegyünk fel egy térbeli koordinátarendszert úgy, hogy abban az

S

sík egyenlete

z = 0

legyen. A torz négyszög csúcsainak koordinátáit jelöljük így:

A (x_{1}, y_{1}, z_{1})

B (x_{2}, y_{2}, z_{2})

C (x_{3}, y_{3}, z_{3})

D (x_{4}, y_{4}, z_{4})

. Az osztási arány pl. az

A B

oldalon legyen

a_{1}

, azaz

\frac{A E}{E B} = \frac{a_{1}}{1}

, a többi arány ugyanígy

a_{2}

a_{3}

a_{4}

. Mivel pl. az

E

pont illeszkedik a

z = 0

egyenletű síkra,

z

koordinátája

0

, és így az osztópont koordinátáira vonatkozó képlet szerint

0 = \frac{z_{1} + a_{1} z_{2}}{1 + a_{1}}

, amiből

a_{1} = - \frac{z_{1}}{z_{2}}

. Ugyanígy kapjuk, hogy

a_{2} = - \frac{z_{2}}{z_{3}}

a_{3} = - \frac{z_{3}}{z_{4}}

a_{4} = - \frac{z_{4}}{z_{1}}

. Nyilván egyik

z_{i}

se zérus, hiszen a torz négyszög csúcsai nem illeszkednek az

S

síkra. A négy arányszám szorzata:

\begin{matrix} a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} = - \frac{z_{1}}{z_{2}} \cdot (- \frac{z_{2}}{z_{3}}) \cdot (- \frac{z_{3}}{z_{4}}) \cdot (- \frac{z_{4}}{z_{1}}) = 1. \end{matrix}

Szita István (Körmend, Kölcsei F. Gimn., III. o.t.)

III. megoldás. Tekintsük az első megoldáshoz készített ábrát. Az

E

H

B

és

D

pontok egy síkban vannak, ezért az

E H

és

B D

egyenesek metszik egymást, vagy párhuzamosak. Az első esetet tekintve, legyen a metszéspont

K

. Az

F

G

és

K

pontok egyfelől benne vannak az

S

síkban, másfelől illeszkednek a

B

C

D

pontok által meghatározott síkra. Ez a két sík feltételeink szerint különböző, tehát az

F

G

és

K

egy egyenesen van, éspedig e két sík metszésvonalán. Alkalmazzuk ezután az

A B D

háromszögre és az

E H

egyenesre, valamint a

B C D

háromszögre és az

F G

egyenesre a Menelaosz-tételt:

\begin{matrix} \frac{A E}{E B} \cdot \frac{B K}{K D} \cdot \frac{D H}{H A} = - 1, illetve \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C G}{G D} \cdot \frac{D K}{K B} = - 1. \end{matrix}

A két egyenlet szorzatából:

\begin{matrix} \frac{A E}{E B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C G}{G D} \cdot \frac{D H}{H A} = 1, hiszen \frac{B K}{K D} \cdot \frac{D K}{K B} nyilván 1 . \end{matrix}

A négy arányszám szorzata tehát 1.
Hátravan még az az eset, amikor

E H