Feladat: F.3099 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Brezovich László ,  Cheri Enikő ,  Elek Péter ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Gerő Tamás Miklós ,  Gyenes Zoltán ,  Hegyi Barnabás ,  Huszár Gergely ,  Juhász Zsófia ,  Kocsis Zoltán ,  Koncz Imre ,  Kováts Mónika ,  Krajcsovicz Éva ,  Rozmán András ,  Szabó Jácint ,  Szita István ,  Szobonya László ,  Terék Zsolt ,  Vaszil Krisztina ,  Visontai Mirkó ,  Vörös Zsuzsa ,  Zakariás Ildikó 
Füzet: 1996/április, 222 - 224. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sík egyenlete, Vetítések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: F.3099

Egy sík az ABCD torz négyszög mindegyik oldalát egy-egy belső pontjában metszi. Egy körüljárási irányt követve, fölírjuk, hogy egy-egy metszéspont milyen arányban osztja az őt tartalmazó oldalt. Mi lesz a négy arányszám szorzata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Jelöljük a feladatban említett síkot S-sel. A torz négyszög oldalainak S-sel közös pontjai legyenek E, F, G, H az ábra szerint. Vetítsük merőlegesen a torz négyszög csúcsait az S síkra, a vetületi pontok legyenek A', B', C', D'. A feladat feltételei szerint egyik pont sem esik egybe a vetületével, ezért pl. AA'BB', tehát a párhuzamos szelők tétele szerint AEEB=AA'BB'. Hasonlóan kapjuk, hogy BFFC=BB'CC', CGGD=CC'DD', DHHA=DD'AA'. A négy aránypár szorzata:
AEEBBFFCCGGDDHHA=AA'BB'BB'CC'CC'DD'DD'AA'=1.
Ugyanezt az eredményt kapjuk a másik körüljárási iránnyal.
 Formanek Csaba (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o.t.)

 
II. megoldás. Vegyünk fel egy térbeli koordinátarendszert úgy, hogy abban az S sík egyenlete z=0 legyen. A torz négyszög csúcsainak koordinátáit jelöljük így: A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3), D(x4,y4,z4). Az osztási arány pl. az AB oldalon legyen a1, azaz AEEB=a11, a többi arány ugyanígy a2, a3, a4. Mivel pl. az E pont illeszkedik a z=0 egyenletű síkra, z koordinátája 0, és így az osztópont koordinátáira vonatkozó képlet szerint 0=z1+a1z21+a1, amiből a1=-z1z2. Ugyanígy kapjuk, hogy a2=-z2z3, a3=-z3z4, a4=-z4z1. Nyilván egyik zi se zérus, hiszen a torz négyszög csúcsai nem illeszkednek az S síkra. A négy arányszám szorzata:
a1a2a3a4=-z1z2(-z2z3)(-z3z4)(-z4z1)=1.
 Szita István (Körmend, Kölcsei F. Gimn., III. o.t.)

 
III. megoldás. Tekintsük az első megoldáshoz készített ábrát. Az E, H, B és D pontok egy síkban vannak, ezért az EH és BD egyenesek metszik egymást, vagy párhuzamosak. Az első esetet tekintve, legyen a metszéspont K. Az F, G és K pontok egyfelől benne vannak az S síkban, másfelől illeszkednek a B, C, D pontok által meghatározott síkra. Ez a két sík feltételeink szerint különböző, tehát az F, G és K egy egyenesen van, éspedig e két sík metszésvonalán. Alkalmazzuk ezután az ABD háromszögre és az EH egyenesre, valamint a BCD háromszögre és az FG egyenesre a Menelaosz-tételt:
AEEBBKKDDHHA=-1,illetveBFFCCGGDDKKB=-1.
A két egyenlet szorzatából:
AEEBBFFCCGGDDHHA=1,hiszenBKKDDKKBnyilván 1.

A négy arányszám szorzata tehát 1.
Hátravan még az az eset, amikor EHBD. Ekkor SBD, aminek következtében BDGF. Alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételét az ABD, illetve BCD háromszögekre:
AEEB=HADH,illetveBFFC=GDCG,
ahol a szereplő szakaszok nem szükségképpen irányított szakaszok. A két egyenlőségből:
AEEBBFFCCGGDDHHA=1.

 Szabó Jácint (Győr, Révai M. Gimn., III. o.t.)

 
Megjegyzés: Könnyen látható, hogy az első két megoldás lényegében ugyanaz, csak az alkalmazott eszköz más.