Kezdőlap


Feladat:	F.3098	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Braun Gábor , Brezovich László , Csávás Csaba , Elek Péter , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Gyukics Mihály , Hangya Balázs , Hegyi Barnabás , Horváth Gábor , Jeszenszky Gyula , Kiss Ádám , Kocsis Zoltán , Krajcsovicz Éva , Kutalik Zoltán , Lichtneckert Zoltán , Lippner Gábor , Lolbert Tamás , Makai Márton , Mátrai Tamás , Nagy Krisztina , Nagy Margit , Nyul Gábor , Pintér Dömötör , Prause István , Rozmán András , Rudolf Gábor , Sánta Zsuzsa , Solymos Róbert , Szabó Jácint , Szilágyi Judit , Szobonya László , Tóth Mariann , Tóth Péter , Vaszil Krisztina , Végh László , Visontai Mirkó , Vörös Zoltán , Zakariás Ildikó
Füzet:	1996/május, 285 - 286. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/december: F.3098

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő azt igazolni, hogy

\begin{matrix} 4 \cdot cos α cos β cos γ = {(\frac{s}{R})}^{2} - {(\frac{r}{R} + 2)}^{2} . \end{matrix}

(1)

Jelöljük (1) jobb oldalát

J

-vel. Ismert azonosságok felhasználásával megmutatjuk, hogy

J

azonosan egyenlő (1) bal oldalával. Ezek az azonosságok:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 + \frac{r}{R} & = cos α + cos β + cos γ, & (2) \\ - 1 - cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ & = 4 \cdot cos α cos β cos γ . & (3) \end{matrix} \end{matrix}

Mindkét azonosság ‐ megoldási útmutatóval ‐ megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye II. példatárban, éspedig (2) ekvivalens a 434.b) és 434.k), (3) pedig a 434.d) feladattal. Ezután számítsuk ki

J

-t:

\begin{matrix} \begin{matrix} J = {(\frac{s}{R})}^{2} - {(\frac{r}{R} + 2)}^{2} = {(\frac{a + b + c}{2 R})}^{2} - {(\frac{r}{R} + 2)}^{2} = \\ = {(sin α + sin β + sin γ)}^{2} - {(1 + cos α + cos β - cos γ)}^{2} = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ + \\ + 2 sin α sin β + 2 sin α sin γ + 2 sin β sin γ - 1 - cos^{2} α - cos^{2} β - cos^{2} γ - \\ - 2 cos α - 2 cos β - 2 cos γ - 2 cos α cos β - 2 cos α cos γ - 2 cos β cos γ, \end{matrix} \end{matrix}

ahol fölhasználtuk a (2) azonosságot és azt, hogy pl.

\frac{a}{2 R} = sin γ

. Ismeretes, hogy pl.

sin^{2} α - cos^{2} α = - cos 2 α

, továbbá

\begin{matrix} 2 \cdot sin α sin β - 2 \cdot cos α cos β - cos γ = 2 [- cos (α + β) - cos γ] = 0. \end{matrix}

Ezért

J = - cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ - 1

, és így (3) szerint

J = 4 \cdot cos α cos β cos γ

. Ez azt jelenti, hogy (1) azonosság, tehát igaz a feladat állítása.

Brezovich László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) és

Szobonya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján