Feladat: F.3098 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Brezovich László ,  Csávás Csaba ,  Elek Péter ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Gyenes Zoltán ,  Gyukics Mihály ,  Hangya Balázs ,  Hegyi Barnabás ,  Horváth Gábor ,  Jeszenszky Gyula ,  Kiss Ádám ,  Kocsis Zoltán ,  Krajcsovicz Éva ,  Kutalik Zoltán ,  Lichtneckert Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Lolbert Tamás ,  Makai Márton ,  Mátrai Tamás ,  Nagy Krisztina ,  Nagy Margit ,  Nyul Gábor ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Rozmán András ,  Rudolf Gábor ,  Sánta Zsuzsa ,  Solymos Róbert ,  Szabó Jácint ,  Szilágyi Judit ,  Szobonya László ,  Tóth Mariann ,  Tóth Péter ,  Vaszil Krisztina ,  Végh László ,  Visontai Mirkó ,  Vörös Zoltán ,  Zakariás Ildikó 
Füzet: 1996/május, 285 - 286. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/december: F.3098

Egy háromszög szögei α, β, γ, kerülete 2s, a körülírt, és a beírt kör sugara R, illetve r. Bizonyítsuk be, hogy
4R2cosαcosβcosγ=s2-(r+2R)2.(3)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő azt igazolni, hogy

4cosαcosβcosγ=(sR)2-(rR+2)2.(1)
Jelöljük (1) jobb oldalát J-vel. Ismert azonosságok felhasználásával megmutatjuk, hogy J azonosan egyenlő (1) bal oldalával. Ezek az azonosságok:
1+rR=cosα+cosβ+cosγ,(2)-1-cos2α-cos2β-cos2γ=4cosαcosβcosγ.(3)
Mindkét azonosság ‐ megoldási útmutatóval ‐ megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye II. példatárban, éspedig (2) ekvivalens a 434.b) és 434.k), (3) pedig a 434.d) feladattal. Ezután számítsuk ki J-t:
J=(sR)2-(rR+2)2=(a+b+c2R)2-(rR+2)2==(sinα+sinβ+sinγ)2-(1+cosα+cosβ-cosγ)2=sin2α+sin2β+sin2γ++2sinαsinβ+2sinαsinγ+2sinβsinγ-1-cos2α-cos2β-cos2γ--2cosα-2cosβ-2cosγ-2cosαcosβ-2cosαcosγ-2cosβcosγ,
ahol fölhasználtuk a (2) azonosságot és azt, hogy pl. a2R=sinγ. Ismeretes, hogy pl. sin2α-cos2α=-cos2α, továbbá
2sinαsinβ-2cosαcosβ-cosγ=2[-cos(α+β)-cosγ]=0.
Ezért J=-cos2α-cos2β-cos2γ-1, és így (3) szerint J=4cosαcosβcosγ. Ez azt jelenti, hogy (1) azonosság, tehát igaz a feladat állítása.
 Brezovich László (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., III. o.t.) és
 
 Szobonya László (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján