Kezdőlap


Feladat:	F.3086	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartha Sándor , Braun Gábor , Csávás Csaba , Czirok Levente , Elek Péter , Fazekas Borbála , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Jeszenszky Gyula , Juhász Zsófia , Lakatos Roland , Makai Márton , Mátrai Tamás , Rozmán András , Szabó Jácint , Szobonya László , Tóth Mariann , Vörös Zoltán , Übelhart István
Füzet:	1996/április, 216 - 217. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vektorok lineáris kombinációi, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/október: F.3086

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük először a $P A + P B + P C$ maximumát. Legyen egyelőre $P$ belső pont, és tegyük fel, hogy $B C \geq C A \geq A B$ . A $P$ -n át $A B$ -vel húzott párhuzamos a másik két oldalt a $D$ , illetve $E$ pontokban metszi (1. ábra). Az $A B C$ és $D E C$ háromszögek hasonlóságból következik, hogy $E C \geq D C \geq D E$ . Ebből és a háromszögegyenlőtlenségből:

\begin{matrix} \begin{matrix} P C < E C \\ D E \leq D C \\ P A < A D + D P \\ P B < P E + E B . \end{matrix} \end{matrix}

A négy egyenlőtlenséget összeadva:

\begin{matrix} D E + P A + P B + P C < (E C + E B) + (A D + D C) + (D P + P E), \end{matrix}

\begin{matrix} P A + P B + P C < B C + C A . \end{matrix}

(1)

P

a háromszög határának egy, a csúcsoktól különböző pontja pl.

P = P_{1}

, akkor

\begin{matrix} P A + P B + P C < A B + B C \leq B C + C A . \end{matrix}

(2)

Ha például

P = C

, akkor

\begin{matrix} P A + P B + P C = B C + C A . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) összefüggésekből láthatjuk, hogy

P A + P B + P C

akkor maximális, ha

P

a legkisebb oldallal szemközti csúcs.
Vizsgáljuk meg ezután, hogy

Q A^{2} + Q B^{2} + Q C^{2}

mikor maximális. A 2. ábrán

Q

a háromszöglemez tetszőleges pontja,

S

pedig a háromszög súlypontja. Legyen

\vec{S Q} = q

\vec{S A} = a

\vec{S B} = b

\vec{S C} = c

és

| a | = a

| b | = b

| c | = c

| q | = q

\begin{matrix} Q A^{2} + Q B^{2} + Q C^{2} = {(q - a)}^{2} + {(q - b)}^{2} + {(q - c)}^{2} = 3 q^{2} - 2 q (a + b + c) + a^{2} + b^{2} + c^{2}, \end{matrix}

Mivel

a + b + c = 0

Q A^{2} + Q B^{2} + Q C^{2} = 3 q^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2}

. Az utolsó három tag összege konstans, a vizsgált összeg tehát akkor a legnagyobb, ha

q

a lehető legnagyobb. Ezért a háromszöglemez

S

-től legtávolabbi pontját kell megkeresnünk, ez pedig az

S

-től legtávolabbi csúcs. Ismeretes, hogy a háromszög

s_{c}

súlyvonala ‐ a szokásos jelölésekkel:

s_{c} = \frac{1}{2} \sqrt[]{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}

, ami akkor a legnagyobb, ha a

c

oldal a legkisebb. Tehát

Q A^{2} + Q B^{2} + Q C^{2}

akkor maximális, ha

Q

a legkisebb oldallal szemközti csúcs. A két eredményből következik, hogy

P = Q

Vörös Zoltán (Tiszavasvári, Váci M. Gimn, IV. o.t.)

Megjegyzés. 1. Feltehető az a kérdés is, hogy az

A B C

háromszög síkjának mely

P

pontjára lesz

P A + P B + P C

a legkisebb. A válasz megadásához szükségünk lesz egy fogalomra. Azt a pontot, amelyből a háromszög oldalai ugyanakkora szögben látszanak, a háromszög izogonális pontjának nevezzük. Egy háromszögnek pontosan akkor van izogonális pontja, ha a legnagyobb szöge

120^{\circ}

-nál kisebb.
Ha egy háromszögnek van izogonális pontja,

P A + P B + P C

akkor a legkisebb, ha

P

az izogonális pont. Egyéb esetben a szélsőértéket a tompaszög csúcsa adja. A probléma megoldása megtalálható Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvében.
2. A megoldásunkból következik, hogy

Q A^{2} + Q B^{2} + Q C^{2}

akkor a legkisebb, ha

Q

a háromszög súlypontja.