Feladat: F.3086 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bartha Sándor ,  Braun Gábor ,  Csávás Csaba ,  Czirok Levente ,  Elek Péter ,  Fazekas Borbála ,  Formanek Csaba ,  Frenkel Péter ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász Zsófia ,  Lakatos Roland ,  Makai Márton ,  Mátrai Tamás ,  Rozmán András ,  Szabó Jácint ,  Szobonya László ,  Tóth Mariann ,  Vörös Zoltán ,  Übelhart István 
Füzet: 1996/április, 216 - 217. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vektorok lineáris kombinációi, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/október: F.3086

Keressük meg az ABC zárt háromszöglemez azon P pontját, amelyre PA+PB+PC maximális, továbbá azt a Q pontját, amelyre QA2+QB2+QC2 maximális. Bizonyítsuk be, hogy P=Q.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük először a PA+PB+PC maximumát. Legyen egyelőre P belső pont, és tegyük fel, hogy BCCAAB. A P-n át AB-vel húzott párhuzamos a másik két oldalt a D, illetve E pontokban metszi (1. ábra). Az ABC és DEC háromszögek hasonlóságból következik, hogy ECDCDE. Ebből és a háromszögegyenlőtlenségből:

PC<ECDEDCPA<AD+DPPB<PE+EB.

A négy egyenlőtlenséget összeadva:
DE+PA+PB+PC<(EC+EB)+(AD+DC)+(DP+PE),
PA+PB+PC<BC+CA.(1)
Ha P a háromszög határának egy, a csúcsoktól különböző pontja pl. P=P1, akkor
PA+PB+PC<AB+BCBC+CA.(2)
Ha például P=C, akkor
PA+PB+PC=BC+CA.(3)

Az (1), (2) és (3) összefüggésekből láthatjuk, hogy PA+PB+PC akkor maximális, ha P a legkisebb oldallal szemközti csúcs.
Vizsgáljuk meg ezután, hogy QA2+QB2+QC2 mikor maximális. A 2. ábrán Q a háromszöglemez tetszőleges pontja, S pedig a háromszög súlypontja. Legyen SQ=q, SA=a, SB=b, SC=c és |a|=a, |b|=b, |c|=c, |q|=q.
QA2+QB2+QC2=(q-a)2+(q-b)2+(q-c)2=3q2-2q(a+b+c)+a2+b2+c2,
Mivel a+b+c=0, QA2+QB2+QC2=3q2+a2+b2+c2. Az utolsó három tag összege konstans, a vizsgált összeg tehát akkor a legnagyobb, ha q a lehető legnagyobb. Ezért a háromszöglemez S-től legtávolabbi pontját kell megkeresnünk, ez pedig az S-től legtávolabbi csúcs. Ismeretes, hogy a háromszög sc súlyvonala ‐ a szokásos jelölésekkel: sc=122a2+2b2-c2, ami akkor a legnagyobb, ha a c oldal a legkisebb. Tehát QA2+QB2+QC2 akkor maximális, ha Q a legkisebb oldallal szemközti csúcs. A két eredményből következik, hogy P=Q.
 Vörös Zoltán (Tiszavasvári, Váci M. Gimn, IV. o.t.)

 
Megjegyzés. 1. Feltehető az a kérdés is, hogy az ABC háromszög síkjának mely P pontjára lesz PA+PB+PC a legkisebb. A válasz megadásához szükségünk lesz egy fogalomra. Azt a pontot, amelyből a háromszög oldalai ugyanakkora szögben látszanak, a háromszög izogonális pontjának nevezzük. Egy háromszögnek pontosan akkor van izogonális pontja, ha a legnagyobb szöge 120-nál kisebb.
Ha egy háromszögnek van izogonális pontja, PA+PB+PC akkor a legkisebb, ha P az izogonális pont. Egyéb esetben a szélsőértéket a tompaszög csúcsa adja. A probléma megoldása megtalálható Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvében.
2. A megoldásunkból következik, hogy QA2+QB2+QC2 akkor a legkisebb, ha Q a háromszög súlypontja.