Legyen a téglatest átlója $d$. A Pitagorasz-tétel alapján $a^2+b^2+c^2=d^2$. Ismeretes, hogy 4-gyel osztva a páratlan négyzetszámok 1-et, a páros négyzetszámok 0-t adnak maradékul.
Tegyük fel először, hogy $a\cdot b$ páratlan. Ekkor $a$ is, $b$ is páratlan, így $a^2$ és $b^2$  4-gyel osztva 1-et ad maradékul. Ezért $a^2+b^2+c^2$  4-gyel való osztási maradéka 2 vagy 3 lesz, tehát most $a^2+b^2+c^2$ semmilyen $c$-vel nem lehet négyzetszám, és $d$ ilyenkor nem lesz egész.
Azt kell még bizonyítanunk, hogy ha $a\cdot b$ páros, akkor van megfelelő $c$.
Ha $a$, $b$ mindegyike páros, akkor $a^2+b^2$ osztható 4-gyel, ezért van olyan $c$ egész, amelyre $a^2+b^2=4\left(c+1\right)$, és nyilván $c$ pozitív, hiszen $a^2+b^2$ legalább 8. Ezzel a $c$-vel $d^2=a^2+b^2+c^2=4c+4+c^2={\left(c+2\right)}^2$, tehát $d$ (pozitiv) egész.
Ha $a$ és $b$ közül az egyik páros, a másik páratlan, akkor feltehető, hogy $a$ páros. Ebben az esetben $a^2$ osztható 2-vel, $b^2$ pedig 4-gyel osztva 1-et ad maradékul, tehát van olyan $c$ egész, amellyel $a^2+b^2=2c+1$, és $c$ biztosan pozitív, hiszen $a^2+b^2$ legalább 5. Erre a $c$-re $d^2=a^2+b^2+c^2=2c+1+c^2={\left(c+1\right)}^2$, így $d$ most is egész.