|
Feladat: |
F.3073 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Cseres Anikó , Elek Péter , Farkas Illés , Frenkel Péter , Gyukics Mihály , Kocsis Zoltán , Lovász Zoltán , Makai Márton , Mann Zoltán , Mátrai Tamás , Nagy Katalin , Nagy Margit , Pap Gyula , Perényi Márton , Radnóti Gergely , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Szilágyi Judit , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek , Varga Tamás , Véber Miklós , Vőneki Csaba , Vörös Zoltán , Zábrándi Zoltán |
Füzet: |
1996/január,
33 - 34. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1995/május: F.3073 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A háromszög területe , ahol a beírt kör sugara, pedig a félkerület. Mivel , azért . A Heron-képletet is felhasználva: amiből | | Mivel , , egész számok, is egész, és pl. paritása ugyanaz, mint paritása. Ugyanezt elmondhatjuk (2) jobb oldalának minden tényezőjéről. Tekintve, hogy (2) bal oldala páros, a jobb oldali tényezők is párosak, tehát az , , egész számok. Figyelembe véve, hogy , az (1) egyenlet így alakul: Feltehetjük, hogy , , közül a legnagyobb, és ekkor | | A (3), (4) és (5) összefüggésekből 3z≥4z, ami z>0 miatt ellentmondás. Ezért x, y, z közül legalább az egyik 1. Feltehetjük, hogy x=1, és ekkor (3)-ból 1+y+z=y⋅z, azaz (y-1)(z-1)=2. Mivel y és z pozitív egészek és z≥y, y=2 és z=3. Így s=6 és a=5, b=4, c=3. A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint a háromszög derékszögű, és a Thalész-tétel szerint a körülírt kör sugara az átfogó hosszának fele, vagyis 52. Könnyen ellenőrizhető, hogy a 3, 4, 5 oldalú háromszög beírt körének sugara valóban 1 egység.
Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
|
|