Feladat: F.3073 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Cseres Anikó ,  Elek Péter ,  Farkas Illés ,  Frenkel Péter ,  Gyukics Mihály ,  Kocsis Zoltán ,  Lovász Zoltán ,  Makai Márton ,  Mann Zoltán ,  Mátrai Tamás ,  Nagy Katalin ,  Nagy Margit ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Radnóti Gergely ,  Rozmán András ,  Ruzsa Gábor ,  Szilágyi Judit ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Varga Tamás ,  Véber Miklós ,  Vőneki Csaba ,  Vörös Zoltán ,  Zábrándi Zoltán 
Füzet: 1996/január, 33 - 34. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/május: F.3073

Egy háromszög oldalai egész számok, beírt körének sugara egységnyi. Mekkora a körülírt kör sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög területe t=rs, ahol r a beírt kör sugara, s pedig a félkerület. Mivel r=1, azért t=s. A Heron-képletet is felhasználva:

s=s(s-a)(s-b)(s-c),
amiből
s=(s-a)(s-b)(s-c).(1)
Innen
8s=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c).(2)
Mivel a, b, c egész számok, 2s is egész, és pl. 2s-2a paritása ugyanaz, mint 2s paritása. Ugyanezt elmondhatjuk (2) jobb oldalának minden tényezőjéről. Tekintve, hogy (2) bal oldala páros, a jobb oldali tényezők is párosak, tehát az x=s-a, y=s-b, z=s-c egész számok. Figyelembe véve, hogy s-a+s-b+s-c=s, az (1) egyenlet így alakul:
x+y+z=xyz.(3)
Feltehetjük, hogy x, y, z közül z a legnagyobb, és ekkor
x+y+z3z.(4)
Ha  x,  y,  z  mindegyike legalább 2 lenne, akkor
xyz4z.(5)
A (3), (4) és (5) összefüggésekből 3z4z, ami z>0 miatt ellentmondás. Ezért x, y, z közül legalább az egyik 1. Feltehetjük, hogy x=1, és ekkor (3)-ból 1+y+z=yz, azaz (y-1)(z-1)=2. Mivel y és z pozitív egészek és zy, y=2 és z=3. Így s=6 és a=5, b=4, c=3.
A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint a háromszög derékszögű, és a Thalész-tétel szerint a körülírt kör sugara az átfogó hosszának fele, vagyis 52.
Könnyen ellenőrizhető, hogy a 3, 4, 5 oldalú háromszög beírt körének sugara valóban 1 egység.
 Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)