Kezdőlap


Feladat:	F.3063	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gilicze László , Makai Márton , Nagy Katalin , Németh Zoltán , Pallinger Ágnes , Rozsnyai Ádám , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1995/december, 531 - 532. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1995/március: F.3063

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg azt a halmazt, ahova a gömb középpontja eshet. Azt kell bizonyítanunk, hogy ez a halmaz nem üres.
Annak feltétele, hogy a gömb téglatest belsejébe essen, az, hogy a középpont annak a $8 \times 8 \times 4$ egységnyi élű téglatestnek a belsejében legyen, amelynek lapjai az eredeti téglatest belsejében, annak lapjaitól 1‐1 egységnyi távolságra helyezkednek el (1. ábra). Ennek a téglatestnek a térfogata $8 \cdot 6 \cdot 4 = 192$ egység.
Egy kocka és a gömb akkor nyúlnak egymásba, ha a gömb középpontja a kocka valamelyik pontjától 1 egységnél kisebb távolságra van. Az ilyen pontok halmaza egy ,,legömbölyített'' élű és sarkú kocka, amelyet a 2. ábrán vázoltunk.
Ez a test úgy keletkezik, hogy a kocka minden lapjára kifelé egy újabb kockát illesztünk, éleihez egy-egy egységnyi magas, egységnyi sugarú negyedhengert, csúcsaihoz egy-egy egységnyi sugarú nyolcadgömböt. Térfogata ezek szerint

\begin{matrix} 7 + 12 \cdot \frac{π}{4} + 8 \cdot \frac{\frac{4 π}{3}}{8} = 7 + \frac{13 π}{3} . \end{matrix}

8 \times 6 \times 4

méretű téglatestből el kell hagynunk azokat a pontokat, amelyeket a kilenc tiltott test valamelyike tartalmaz. A testek térfogatának összege

9 \cdot (7 + \frac{13 π}{3}) = 63 + 39 π < 192

, tehát a megmaradó halmaz térfogata biztosan pozitív. Ha pedig pozitív a térfogata, akkor nem lehet üres, tehát a gömb középpont elhelyezhető.

Megjegyzés. Hangsúlyozzuk, hogy a megoldásban szereplő tiltott ,,testekbe'' maga a gömb behatolhat, csak a középpontja nem.