A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vizsgáljuk meg azt a halmazt, ahova a gömb középpontja eshet. Azt kell bizonyítanunk, hogy ez a halmaz nem üres. Annak feltétele, hogy a gömb téglatest belsejébe essen, az, hogy a középpont annak a egységnyi élű téglatestnek a belsejében legyen, amelynek lapjai az eredeti téglatest belsejében, annak lapjaitól 1‐1 egységnyi távolságra helyezkednek el (1. ábra). Ennek a téglatestnek a térfogata egység. Egy kocka és a gömb akkor nyúlnak egymásba, ha a gömb középpontja a kocka valamelyik pontjától 1 egységnél kisebb távolságra van. Az ilyen pontok halmaza egy ,,legömbölyített'' élű és sarkú kocka, amelyet a 2. ábrán vázoltunk. Ez a test úgy keletkezik, hogy a kocka minden lapjára kifelé egy újabb kockát illesztünk, éleihez egy-egy egységnyi magas, egységnyi sugarú negyedhengert, csúcsaihoz egy-egy egységnyi sugarú nyolcadgömböt. Térfogata ezek szerint A méretű téglatestből el kell hagynunk azokat a pontokat, amelyeket a kilenc tiltott test valamelyike tartalmaz. A testek térfogatának összege , tehát a megmaradó halmaz térfogata biztosan pozitív. Ha pedig pozitív a térfogata, akkor nem lehet üres, tehát a gömb középpont elhelyezhető.
Megjegyzés. Hangsúlyozzuk, hogy a megoldásban szereplő tiltott ,,testekbe'' maga a gömb behatolhat, csak a középpontja nem.
|