Feladat: F.3056 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Frenkel Péter ,  Gröller Ákos ,  Makai Márton ,  Pap Gyula ,  Sánta Zsuzsa ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Varga Tamás 
Füzet: 1995/szeptember, 351. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ponthalmazok, Körök, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1995/február: F.3056

A H1, H2, ..., H333 halmazok mindegyike 1995 darab, páronként diszjunkt nyílt körlemezt tartalmaz. Bizonyítsuk be, hogy minden egyes halmazból kiválasztható egy-egy körlemez úgy, hogy a kiválasztott 333 körlemez is páronként diszjunkt.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszuk ki az összes körlemez közül a legkisebb sugarút, legyen ez K. Megmutatjuk, hogy ebbe a körlemezbe halmazonként legfeljebb 5‐5 körlemez metszhet bele.
Legyen K középpontja O, sugara r, és tegyük fel, hogy ebbe két legalább ekkora sugarú, diszjunkt körlemez: K1 és K2 belemetsz. Legyen ezek középpontja O1 és O2, sugaraik r1r és r2r.
Az, hogy K1 és K2 diszjunkt, ekvivalens azzal, hogy O1O2r1+r2. Az pedig, hogy belemetszenek K-ba, azt jelenti, hogy OO1<r+r1 és OO2<r+r2. Mindezekből következik, hogy OO1<r+r1O1O2 és OO2<r+r2O1O2, vagyis az OO1O2 háromszögben a leghosszabb oldal O1O2. A háromszög legnagyobb szöge a leghosszabb oldallal szemben fekszik, tehát az O1OO2 szög nagyobb, mint 60. Ha lenne 6 diszjunkt körlemez, amely belemetsz K-ba, akkor ezek közül valamelyik kettő középpontja 60-nál nem nagyobb szögben látszana O-ból, ami ellentmondás.
A kiválasztandó 333 körlemez egyike K lesz. A többi körlemez kiválasztásához hagyjuk el azt a halmazt, amely tartalmazza K-t, a többi halmazból pedig azokat a körlemezeket, amelyek belemetszenek K-ba. Így 332 halmazunk marad, mindegyikben legalább 1990 körlemez.
Ezt az eljárást 332-szer elvégezve még mindig marad egy halmaz legalább
1995-3325=335 körlemezzel, ezek bármelyikét kiválaszthatjuk.

 Sánta Zsuzsa (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.)