Kezdőlap


Feladat:	1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1957/november, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek grafikus megoldása, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az $A$ -ból induló vonat sebessége $v_{1}$ a $B$ -ből indulóé $v_{2}$ , akkor a találkozás utánra vonatkozó adatokból

\begin{matrix} 20 v_{1} = T B, 45 v_{2} = T A, amiből \frac{A T}{T B} = \frac{9}{4} \cdot \frac{v_{2}}{v_{1}} . \end{matrix}

Viszont a

T

-ig megtett utakhoz szükséges időket számítva ki, ezek különbsége

11

perc, vagyis

\begin{matrix} \frac{A T}{v_{1}} - \frac{T B}{v_{2}} = 11. \end{matrix}

Ide

T A

és

T B

imént kapott értékét behelyettesítve, és a

\frac{v_{2}}{v_{1}} = u

értékkel végig szorozva, utóbbira a

\begin{matrix} 45 u^{2} - 11 u - 20 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Innen, csak a pozitív gyököt véve figyelembe,

\begin{matrix} u = \frac{4}{5}, és így \frac{A T}{T B} = \frac{9}{4} u = \frac{9}{5} . \end{matrix}

II. megoldás: Legkönnyebb arra az időre egyenletet felírni, amely valamelyik vonatnak indulástól a

T

pontba jutásig vagy az egész út megtételéhez szükséges. Ebben még a szemléletet is segítségül vehetjük, mert közelebbi adatok nélkül is vázolhatjuk a viszonyokat szemléltető grafikon szerkezetét (lásd az 1. ábrát, amelyen vízszintesen az időt, függőlegesen a megtett utat ábrázoltuk).

1. ábra

Ha pl. az

A

-ból induló vonat

T

-be érkezéséhez szükséges

t

időt akarjuk kiszámítani, akkor az ábrán azonosan sraffozott hasonló háromszögekből

\begin{matrix} \frac{t}{20} = \frac{45}{t - 11} . \end{matrix}

Az egyenlet mindkét oldalán éppen (a kiszámítható arány áll.) Átrendezve (ha

t \neq 11

)

\begin{matrix} t^{2} - 11 t - 900 = 0, \end{matrix}

és az egyenlet pozitív gyöke

\begin{matrix} t = \frac{11 + 61}{2} = 36, \end{matrix}

a keresett arány pedig

\begin{matrix} \frac{A T}{T B} = \frac{t}{20} = \frac{9}{5} . \end{matrix}

A fent említett 3 további időtartam bármelyikéből indulva ki teljesen hasonlóan járhatunk el.

III. megoldás: Közvetlenül a keresett

x = A T / B T

arányra is állíthatunk fel egyenletet. Az

A

-ból induló vonat ugyanis

20 x

perc alatt érkezik

A

-ból

T

-be, a

B

-ből induló pedig

45 / x

perc alatt

B

-ből

T

-be. A feladat első része szerint pedig

\begin{matrix} 20 x - \frac{45}{x} = 11 azaz 20 x^{2} - 11 x - 45 = 0. \end{matrix}

Innen, csak a pozitív gyököt véve tekintetbe

\begin{matrix} x = \frac{11 + 61}{40} = \frac{9}{5} . \end{matrix}