Feladat: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1957/november, 89 - 90. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek grafikus megoldása, Arany Dániel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/szeptember: 1957. évi Arany Dániel matematikaverseny 1. forduló haladók (speciális) 1. feladata

Egy vonat elindul A-ból és egyenletes mozgással halad B felé. 11 perccel később elindul B-ből egy vonat ugyanazon az útvonalon, ugyancsak állandó sebességgel A felé. A találkozástól számítva 20, ill. 45 perc múlva érnek a vonatok B-be, ill. A-ba. Milyen arányban osztja a T találkozási pont az AB távolságot?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az A-ból induló vonat sebessége v1 a B-ből indulóé v2, akkor a találkozás utánra vonatkozó adatokból

20v1=TB,45v2=TA,amibőlATTB=94v2v1.
Viszont a T-ig megtett utakhoz szükséges időket számítva ki, ezek különbsége 11 perc, vagyis
ATv1-TBv2=11.
Ide TA és TB imént kapott értékét behelyettesítve, és a v2v1=u értékkel végig szorozva, utóbbira a
45u2-11u-20=0
egyenletet kapjuk. Innen, csak a pozitív gyököt véve figyelembe,
u=45,és ígyATTB=94u=95.
 

II. megoldás: Legkönnyebb arra az időre egyenletet felírni, amely valamelyik vonatnak indulástól a T pontba jutásig vagy az egész út megtételéhez szükséges. Ebben még a szemléletet is segítségül vehetjük, mert közelebbi adatok nélkül is vázolhatjuk a viszonyokat szemléltető grafikon szerkezetét (lásd az 1. ábrát, amelyen vízszintesen az időt, függőlegesen a megtett utat ábrázoltuk).
 
 
1. ábra
 

Ha pl. az A-ból induló vonat T-be érkezéséhez szükséges t időt akarjuk kiszámítani, akkor az ábrán azonosan sraffozott hasonló háromszögekből
t20=45t-11.
Az egyenlet mindkét oldalán éppen (a kiszámítható arány áll.) Átrendezve (ha t11)
t2-11t-900=0,
és az egyenlet pozitív gyöke
t=11+612=36,
a keresett arány pedig
ATTB=t20=95.

A fent említett 3 további időtartam bármelyikéből indulva ki teljesen hasonlóan járhatunk el.
 

III. megoldás: Közvetlenül a keresett x=AT/BT arányra is állíthatunk fel egyenletet. Az A-ból induló vonat ugyanis 20x perc alatt érkezik A-ból T-be, a B-ből induló pedig 45/x perc alatt B-ből T-be. A feladat első része szerint pedig
20x-45x=11azaz20x2-11x-45=0.
Innen, csak a pozitív gyököt véve tekintetbe
x=11+6140=95.