Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.357	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alexy Norbert , Balázs Zoltán , Chrabák Ede , Csillag Péter , Halász Péter , Kovács Péter , Lenkó Csaba , Megyesi Gábor , Müller Péter , Pintér Gabriella , Réz András , Sieben Nándor , Sigray István , Szabó Csaba , Szállási Zoltán , Törőcsik Jenő , Wágner Péter
Füzet:	1983/április, 169 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lottó, Klasszikus valószínűség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/január: Pontversenyen kívüli P.357

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $90$ lottószámot $(\binom{90}{5})$ féleképpen lehet kihúzni. Nevezzük megfelelőnek azokat a lottószámokat ( $1$ és $90$ közötti számokat), amelyek előállnak két négyzetszám összegeként. Ha ezek száma $p$ , akkor $(\binom{p}{5})$ féleképpen fordulhat elő, hogy mind az öt kihúzott szám megfelelő. Minthogy a klasszikus valószínűségi modell szerint feltételezzük, hogy minden lehetséges számötös kihúzásának a valószínűsége azonos, így a keresett valószínűség a megfelelő esetek és az összes lehetséges esetek számának hányadosa, azaz $(\binom{p}{5}) / (\binom{90}{5})$ . Most már csak $p$ -t, vagyis a megfelelő esetek számát kell meghatároznunk. Az $n$ szám akkor megfelelő, ha $1$ és $90$ közé esik és vagy $n = b^{2}$ vagy $n = a^{2} + b^{2}$ alakú, ahol $a$ , $b$ egészek, és $1 ≦ a ≦ b ≦ 9$ .

n =

b^{2}

alakú számból 9 megfelelő van: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

n =

1 + b^{2}

1 ≦ b ≦ 9

alakú számból 9 megfelelő van: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82.

n =

4 + b^{2}

2 ≦ b ≦ 9

alakú számból 8 megfelelő van: 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85.

n =

9 + b^{2}

3 ≦ b ≦ 9

alakú számból 7 megfelelő van: 18, 25, 34, 45, 58, 73, 90.

n =

16 + b^{2}

4 ≦ b ≦ 9

alakú számból 5 megfelelő van: 32, 41, 52, 65, 80.

n =

25 + b^{2}

5 ≦ b ≦ 9

alakú számból 4 megfelelő van: 50, 61, 74, 89.

n =

36 + b^{2}

6 ≦ b ≦ 9

alakú számból 2 megfelelő van: 72, 85.

n = a^{2} + b^{2}

a

b ≧ 7

alakú számok közt nincs megfelelő. Ez tehát 44 szám, de közöttük négy (25, 50, 65, 85) kétszer fordul elő. Következésképp 40 különböző megfelelő szám van, azaz

p = 40

. A keresett valószínűség

(\binom{40}{5}) / (\binom{90}{5}) \approx 0, 015.

Megjegyzések. 1. Az 1957. március 7. és 1981 vége közötti

1295

húzásból

18

-szor volt mind az öt nyerőszám megfelelő. A fenti eredmény alapján 1295 húzásból a várható érték az, hogy

1295 \cdot (\binom{40}{5}) / (\binom{90}{5}) \approx 19, 3

húzásnál fog ez előfordulni.
Kovács Péter
2. Ismert tétel (lásd pl. Sárközy A.: Számelmélet, Műszaki Könyvkiadó, 1976, 273. old.), hogy egy természetes szám pontosan akkor bontható két négyzetszám összegére, ha

4 k - 1

alakú prímosztói páros hatvánnyal szerepelnek a prímtényezős felbontásában.