Feladat: Pontversenyen kívüli P.357 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy Norbert ,  Balázs Zoltán ,  Chrabák Ede ,  Csillag Péter ,  Halász Péter ,  Kovács Péter ,  Lenkó Csaba ,  Megyesi Gábor ,  Müller Péter ,  Pintér Gabriella ,  Réz András ,  Sieben Nándor ,  Sigray István ,  Szabó Csaba ,  Szállási Zoltán ,  Törőcsik Jenő ,  Wágner Péter 
Füzet: 1983/április, 169 - 170. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lottó, Klasszikus valószínűség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/január: Pontversenyen kívüli P.357

Egy lottóhúzás számai (1981. év 44. játékhét) a következők voltak: 16, 25, 41, 64, 85. Mi annak a valószínűsége, hogy egy lottóhúzás számai mind előállíthatók legyenek két négyzetszám összegeként? (A 0 is négyzetszám.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 90 lottószámot (905) féleképpen lehet kihúzni. Nevezzük megfelelőnek azokat a lottószámokat (1 és 90 közötti számokat), amelyek előállnak két négyzetszám összegeként. Ha ezek száma p, akkor (p5) féleképpen fordulhat elő, hogy mind az öt kihúzott szám megfelelő. Minthogy a klasszikus valószínűségi modell szerint feltételezzük, hogy minden lehetséges számötös kihúzásának a valószínűsége azonos, így a keresett valószínűség a megfelelő esetek és az összes lehetséges esetek számának hányadosa, azaz (p5)/(905). Most már csak p-t, vagyis a megfelelő esetek számát kell meghatároznunk. Az n szám akkor megfelelő, ha 1 és 90 közé esik és vagy n=b2 vagy n=a2+b2 alakú, ahol a, b egészek, és 1ab9.

n=b2 alakú számból 9 megfelelő van: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
n=1+b2, 1b9 alakú számból 9 megfelelő van: 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82.
n=4+b2, 2b9 alakú számból 8 megfelelő van: 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85.
n=9+b2, 3b9 alakú számból 7 megfelelő van: 18, 25, 34, 45, 58, 73, 90.
n=16+b2, 4b9 alakú számból 5 megfelelő van: 32, 41, 52, 65, 80.
n=25+b2, 5b9 alakú számból 4 megfelelő van: 50, 61, 74, 89.
n=36+b2, 6b9 alakú számból 2 megfelelő van: 72, 85.

Az n=a2+b2, a, b7 alakú számok közt nincs megfelelő. Ez tehát 44 szám, de közöttük négy (25, 50, 65, 85) kétszer fordul elő. Következésképp 40 különböző megfelelő szám van, azaz p=40. A keresett valószínűség (405)/(905)0,015.
 

Megjegyzések. 1. Az 1957. március 7. és 1981 vége közötti 1295 húzásból 18-szor volt mind az öt nyerőszám megfelelő. A fenti eredmény alapján 1295 húzásból a várható érték az, hogy 1295(405)/(905)19,3 húzásnál fog ez előfordulni.
 Kovács Péter
2. Ismert tétel (lásd pl. Sárközy A.: Számelmélet, Műszaki Könyvkiadó, 1976, 273. old.), hogy egy természetes szám pontosan akkor bontható két négyzetszám összegére, ha 4k-1 alakú prímosztói páros hatvánnyal szerepelnek a prímtényezős felbontásában.