Azt állítjuk, hogy ilyen halmaz nem létezik, állításunkat indirekt módon bizonyítjuk. Feltesszük, hogy valamely nem üres $M$ halmaz teljesíti a feladat feltételét, és ebből ellentmondást vezetünk le.
Ha $M$ megfelel a feladat feltételének, akkor nyilván van legalább két (sőt végtelen sok) olyan valós szám, amely nincs $M$-ben. Legyen $x$, $y$ két ilyen szám, $x\ne y$.
A feladat feltétele átfogalmazható úgy, hogy ha $a\in M$, akkor bármely $r\ne 0$ valós számra $a+r$ és $a-r$ közül pontosan az egyik van $M$-ben. Minthogy $M$ nem üres, ebből következik, hogy bármely $r$-hez van két olyan szám $M$-ben, amelyek különbsége pontosan $r$. Ebből $r=\frac{x-y}{2}$ választással azt kapjuk, hogy van olyan $u$ és $v$ $M$-ben, amelyre $u-v=\frac{x-y}{2}$.
Az $M$-re kirótt feltételből következik, hogy $M$-ben nincs háromtagú számtani sor, hiszen ennek középső tagját választva $a$-nak és differenciáját $r$-nek, a feltétel nem teljesülne: mind $a-r$, mind $a+r$ az $M$-ben volna.
A kívánt ellentmondáshoz ezek után úgy jutunk, hogy keresünk $M$-ben háromtagú számtani sort. Alkalmazzuk az (átfogalmazott) feltételt $a=v$ és $r=v-x$-re: ($v-x\ne 0$, hiszen $v\in M$, $x\notin M$, tehát $v\ne x$.)
Azt kapjuk, hogy $2v-x$ és $x$ valamelyike $M$-ben van. De $x\notin M$, így $2v-x$ van $M$-ben. Ugyanezt a gondolatmenetet $x$ helyett $y$-nal alkalmazva azt kapjuk, hogy $2v-y\in M$. Ha pedig a gondolatmenetet $v$ helyett $u$-val és $x$ helyett $y$-nal mondjuk el, akkor arra jutunk, hogy $2u-y\in M$.
Tehát $2v-x$, $2v-y$, $2u-y$ egyaránt $M$-ben van. De ez a $2$ szám egy háromtagú, $x-y$ különbségű számtani sort alkot. Ezzel megkaptuk a keresett ellentmondást, s eredeti állításunkat bebizonyítottuk.