Feladat:	Pontversenyen kívüli P.349	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs Zoltán ,  Király Zoltán ,  Kovács 721 Tibor ,  Megyesi Gábor ,  Nagy Zsolt ,  Petz Rajmund ,  Tranta Beáta
Füzet:	1982/november, 141 - 143. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontversenyen kívüli probléma, Exponenciális egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: Pontversenyen kívüli P.349

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 2n<4^{1/n}+4^{2/n}+\text{...}+4^{n/n}\le 3n\mathrm{.}}\end{array}$ (1) I. megoldás. Jelöljük $\left(4^{1/n}+4^{2/n}+\text{...}+4^{n/n}\right)/n$ értékét $T_n$-nel. Azt kell megmutatnunk, hogy $2<T_n\leqq 3$. $n>1$ esetén $T_n$ a különböző $4^{1/n}$, $4^{2/n}$, $\text{...}$, $4^{n/n}$ számok számtani közepe, s így biztosan nagyobb ugyanezeknek a számoknak a mértani közepénél. A számok szorzata maga is $4$ hatványa, melynek kitevője $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\text{...}+\frac{n}{n}=\frac{n+1}{2}>\frac{n}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így a számok mértani közepe nagyobb, mint $\sqrt[n]{4^{n/2}}=2$. Ezzel az (1) bal oldalán álló egyenlőtlenséget beláttuk. Ha $n$ páros, a jobb oldalon álló egyenlőtlenséget abból kapjuk, hogy $j=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n/2$ mellett $4^{j/n}\leqq 4^{1/2}=2$, $j=n/2+\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}n$ mellett pedig $4^{j/n}\leqq 4^{n/n}\leqq 4$ Ha $n$ egynél nagyobb páratlan szám, azaz $n=2m+1$ alakú valamely $m\geqq 1$ egész számra, akkor ugyanazt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, csak most összegünk középső tagját külön meg kell becsülnünk. $j=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}m$-re $4^{j/n}\leqq 4^{m/n}<4^{1/2}=2$, $j=m+1$ esetén $j/n=\left(m+1\right)/\left(2m+1\right)\leqq 2/3$, mert $m\geqq 1$, következésképp $4^{j/n}\leqq 4^{2/3}<3$, végül $j=m+\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}n$-re $4^{j/n}\leqq 4^{n/n}=4$. Ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 4^{1/n}+4^{2/n}+\text{...}+4^{n/n}\leqq m\cdot 2+3+m\cdot 4=\left(2m+1\right)\cdot 3=3n\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel (1) jobb oldalát is beláttuk.   II. megoldás, az (1) jobb oldalán álló egyenlőtlenségre. $T_n$ értékét grafikusan szemléltetjük. Tekintsük az $\left(x;y\right)$ koordináta-rendszerben azokat a téglalapokat, amelyeknek alapja az $x$ tengelyen van, hossza $\frac{1}{n}$, egy-egy csúcsuk pedig $j=\mathrm{0,1,}\text{...}\mathrm{,}n-1$ mellett a $\left(j/n\mathrm{,}{4}^{j/n}\right)$ pontban.   1. ábra   Ezeknek a téglalapoknak a területösszege (1. ábra) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{n}\cdot 4^{0/n}+\frac{1}{n}\cdot 4^{1/n}+\text{...}+\frac{1}{n}\cdot 4^{\left(n-1\right)/n}=\frac{1}{n}+T_n-\frac{1}{n}{4}^{n/n}=T_n-\frac{3}{n}\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt ezek a téglalapok benne vannak abban az ötszögben, amelynek csúcsai a (0;0), (1;0), (1;4),