Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.307	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erdélyi Tamás , Hajnal Péter , Nagy Gábor , Varga József
Füzet:	1979/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív eljárások, Számsorok, "e" szám közelítő kiszámítása, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/október: Pontversenyen kívüli P.307

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás nem igaz, megadunk olyan $a$ -t, melyre $sin a_{n}$ konvergens és minden tagja $0$ -tól különböző. Legyen

\begin{matrix} a = π (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ...) . \end{matrix}

A zárójelben levő végtelen összegen a

\begin{matrix} b_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{n!} \end{matrix}

sorozat határértékét értjük. Ez létezik, hiszen

b_{n}

monoton nő, és korlátos:

\begin{matrix} b_{n} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2} + ... + \frac{1}{n (n - 1)} = \\ = 2 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) < 3. \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} a_{n} = n! a = π (n! \cdot b_{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 2) (n + 1)} + ...) . \end{matrix}

Itt

L = n! b_{n}

egész szám, a többi tag összege pedig kisebb, mint

\begin{matrix} \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{3}} + ... = \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{n}, \end{matrix}

így

L \cdot π < a_{n} < L \cdot π + \frac{π}{n}

, ahol

L

egész, vagyis

sin a_{n}

sohasem

0

. Az ismert

| sin x | \leq | x |

összefüggés alapján

\begin{matrix} 0 \leq | sin a_{n} | = | sin (a_{n} - L \cdot π) | < \frac{π}{n}, \end{matrix}

azaz

sin a_{n}

konvergens és tart

0

-hoz.

Hajnal Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)