Ha volna ilyen $f$ függvény, arra minden $0\le x\le 1$ mellett $0\le f\left(x\right)\le 1$ teljesülne, hiszen az $A$, $B$ halmazok a $[0$, $1]$ intervallum részei. Megmutatjuk, hogy minden olyan $[0$, $1]$-ben értelmezett folytonos $f\left(x\right)$ függvény, amelyre $0\le f\left(x\right)\le 1$, létezik olyan $c\in \left[\mathrm{0,}1\right]$, hogy $f\left(c\right)=c$. Ebből következik, hogy a kívánt felosztás nem lehetséges, hiszen $c$ és $f\left(c\right)$ ugyanabba a halmazba tartozik.
Tekintsük a $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ függvényt. Ez egyrészt folytonos, másrészt $g\left(0\right)=f\left(0\right)\ge 0$ és $g\left(1\right)=f\left(1\right)-1\le 0$. Ezért Bolzano tétele miatt létezik olyan $c\in \left[\mathrm{0,}1\right]$, melyre $g\left(c\right)=0$, azaz $f\left(c\right)=c$. Ezzel állításunkat beláttuk.