Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.120	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint L. , Balogh Z. , Császár Gy. , Gergely I. , Hermann P. , Kelen Miklós , Kópházi J. , Major Imre , Óvári M. , Pach J. , Párkány Katalin , Pócsi Gy. , Rudas T. , Stachó B. , Székely A. , Szeredi J. , Turán Gy. , Turi Erzsébet
Füzet:	1972/szeptember, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Számsorok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: Pontversenyen kívüli P.120

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a $c_{1}, c_{2}, ..., c_{2 n}$ számsorozat első $i$ tagjának összegét $d_{i}$ -vel. Így azt kell bizonyítanunk, hogy van olyan $k$ az $1, 2, ..., n$ indexek közt, hogy teljesül

\begin{matrix} d_{k + j} - d_{k - 1} \geq 0 \end{matrix}

minden olyan

j

esetében, amelyre

0 \leq j < n

k = 1

esetén adódó

d_{0}

-on természetesen 0-t értve).
Az első föltevés szerint

d_{2 n} = 0

; ebből a

c_{n + j} = c_{f}

(megismétlődési) tulajdonság felhasználásával

\begin{matrix} d_{n} = & c_{1} + c_{2} + ... c_{n} = \frac{1}{2} (c_{1} + c_{n + 1}) + \frac{1}{2} (c_{2} + c_{n + 2}) + ... + \frac{1}{2} (c_{n} + c_{2 n}) = \\ \frac{1}{2} d_{2 n} = 0; \end{matrix}

ebből pedig

d_{n + j} = d_{j}

minden olyan

j

-re, amelyre

1 \leq j \leq n .

Válasszuk ki most a

d_{1}, d_{2}, ... d_{n}

számok legkisebbikét, legyen ez

d_{m}

(azaz

1 \leq m \leq n

; nem vitás, hogy ilyen létezik), ha pedig több részletösszegnek ugyanennyi az értéke, akkor jelölje

d_{m}

ezek bármelyikét (nincs tehát olyan

r

index, amelyre

d_{r} < d_{m}

).
Tüstént látjuk, hogy ha

m = n

, akkor a

k = 1

indexnek megvan a kívánt tulajdonsága, hiszen ekkor

d_{m} = d_{n} a d_{i} (1 \leq i \leq n)

összegek legkisebbike, másrészt tudjuk már, hogy az értéke 0.
Ha pedig

m < n

, akkor

k = m + 1

index felel meg az előírásnak, hiszen ekkor az

m

index megválasztása folytán

\begin{matrix} d_{k + j} - d_{k - 1} = d_{m + 1 + j} - d_{m} \geq 0. \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Kelen Miklós (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Többen észrevették, hogy a probléma tulajdonképpen elvont megfogalmazása az Élet és Tudomány c. folyóirat "A gondolkodás iskolája'' rovata egy 1971. őszi feladatának. Ennek magyarázata az, hogy a kérdés 1971. szeptemberében Budapesten közszájon forgott, szerkesztő bizottságunk is akkor iktatta be a kitűzésbe.