Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.117	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. , Bara T. , Kiss Emil , Kópházi J. , Major Imre , Nagy Sándor , Nagy Zoltán , Óvári M. , Rudas T. , Stachó B. , Totik V.
Füzet:	1972/szeptember, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Rekurzív eljárások, Mértani sorozat, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: Pontversenyen kívüli P.117

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat képzési törvénye így is írható:

\begin{matrix} c_{n + 1} = a \cdot c_{n}^{1 / 30}, ahol a = \sqrt[30]{2^{15} \cdot 3^{5} \cdot 5} (> 1), \end{matrix}

eszerint a sorozat kezdő tagjai:

\begin{matrix} c_{1} = 1 = a^{0}, c_{2} = a, c_{3} = a^{1 + 1 / 30}, c_{4} = a^{1 + 1 / 30 + 1 / 900} . \end{matrix}

Ezek mind

a^{λ}

alakúak, ezért célszerűnek látszik a képzési szabályt magára a

λ

exponensre átfogalmazni. Ha

c_{n}

egyenlő az

a

alap

λ_{n}

kitevőjű hatványával, akkor a képzési szabály szerint

c_{n + 1}

is az

a

alap hatványa, mégpedig a

\begin{matrix} λ_{n + 1} = 1 + \frac{1}{30} λ_{n} \end{matrix}

kitevő mellett. Tehát (mint az teljes indukcióval könnyen bizonyítható) a

λ_{n + 1}

kitevő egy

n

tagú mértani sorozat összege:

\begin{matrix} λ_{n + 1} = 1 + \frac{1}{30} + ... + \frac{1}{30^{n - 1}} . \end{matrix}

Ez másképpen úgy mondható, hogy

λ_{n + 1}

az 1 kezdőtagú és

q = \frac{1}{30}

hányadosú végtelen mértani sorozat első

n

tagjának összege, amiből következik, hogy a

λ_{n}

sorozat konvergens, és a határértéke egyenlő ennek a mértani sornak az összegével:

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} λ_{n} = \frac{1}{1 - q} = \frac{30}{29} . \end{matrix}

Tudjuk másrészt, hogy az exponenciális függvény folytonos,^{$^{*}$} ha tehát

λ_{n}

tart

\frac{30}{29}

-hez, akkor az

a

szám

λ_{n}

kitevőjű hatványa tart az

\begin{matrix} A = a^{30 / 29} = \sqrt[29]{2^{15} \cdot 3^{5} \cdot 5} = 1, 831 \end{matrix}

számhoz. Tehát a

c_{n}

sorozat konvergens, és ez az

A

szám a határértéke.

^{$^{*}$}Lásd Czapáry E.-Horvay K.-Pálmay L.: Matematika a gimn, és szakközépisk. III. oszt. számára, 1. kiadás, 1968. 239. old.