Feladat: Pontversenyen kívüli P.117 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Z. ,  Bara T. ,  Kiss Emil ,  Kópházi J. ,  Major Imre ,  Nagy Sándor ,  Nagy Zoltán ,  Óvári M. ,  Rudas T. ,  Stachó B. ,  Totik V. 
Füzet: 1972/szeptember, 27 - 28. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Rekurzív eljárások, Mértani sorozat, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: Pontversenyen kívüli P.117

A c1,c2,...,cn,... sorozatról tudjuk, hogy c1=1 és
cn+1=235cn53(n=1,2,...).
Konvergens-e ez a sorozat ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sorozat képzési törvénye így is írható:

cn+1=acn1/30,ahola=21535530(>1),
eszerint a sorozat kezdő tagjai:
c1=1=a0,c2=a,c3=a1+1/30,c4=a1+1/30+1/900.
Ezek mind aλ alakúak, ezért célszerűnek látszik a képzési szabályt magára a λ exponensre átfogalmazni. Ha cn egyenlő az a alap λn kitevőjű hatványával, akkor a képzési szabály szerint cn+1 is az a alap hatványa, mégpedig a
λn+1=1+130λn
kitevő mellett. Tehát (mint az teljes indukcióval könnyen bizonyítható) a λn+1 kitevő egy n tagú mértani sorozat összege:
λn+1=1+130+...+130n-1.
Ez másképpen úgy mondható, hogy λn+1 az 1 kezdőtagú és q=130 hányadosú végtelen mértani sorozat első n tagjának összege, amiből következik, hogy a λn sorozat konvergens, és a határértéke egyenlő ennek a mértani sornak az összegével:
limnλn=11-q=3029.
 

Tudjuk másrészt, hogy az exponenciális függvény folytonos,* ha tehát λn tart 3029-hez, akkor az a szám λn kitevőjű hatványa tart az
A=a30/29=21535529=1,831
számhoz. Tehát a cn sorozat konvergens, és ez az A szám a határértéke.

*Lásd Czapáry E.-Horvay K.-Pálmay L.: Matematika a gimn, és szakközépisk. III. oszt. számára, 1. kiadás, 1968. 239. old.