|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.111 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bálint L. , Balogh Z. , Breuer P. , Császár Gy. , Hegyi F. , Hermann P. , Horváth M. , Kelen M. , Kiss Emil , Kópházi J. , Major I. , Nemeskéri I. , Németh Erika , Párkány Katalin , Stachó B. , Székely A. , Szeredi J. , Tóth Péter , Totik V. , Turi Erzsébet , Varga István |
Füzet: |
1972/március,
123 - 124. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Trapézok, Paralelogrammák, Vektorok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/szeptember: Pontversenyen kívüli P.111 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A föltevés azt jelenti, hogy minden olyan pontpárra, amelyre teljesül a következő is: | | (2) | egy konvex sokszög területét úgy jelölve, hogy zárójelben felsoroljuk csúcsait, valamelyik körüljárása sorrendjében. Megmutatjuk, hogy ebből a speciális érték mellett azt kapjuk, hogy párhuzamos -vel. 1. ábra Valóban esetén felezi -t és felezi -t (az 1. ábrán , ill. ), tehát Másrészt teljesül is, mert és alapjuk egyenlő és -ből húzott magasságuk azonos. (3)-at -ből kivonva: Ámde e két háromszög , ill. alapja egyenlő, így magasságuk, azaz -nek és -nek az egyenestől való távolsága is egyenlő. És mivel az négyszög konvex, és ugyanazon az oldalán vannak -nek, tehát párhuzamos -vel, amint állítottuk. Más szóval: trapéz. Legyen most , az (1)-nek egy tetszőleges pozitív értékkel eleget tevő pontpár (2. ábra). 2. ábra Így , , , .
és közös magasságú és (2) szerint egyenlő területű trapézok, tehát egyenlők az , középvonalaik is, ahol , az , ill. szár felezőpontja és az , egyenesek metszéspontja. Így
és ez tetszőleges arányérték mellett csak úgy teljesülhet, ha , vagyis az négyszög paralelogramma. Ha viszont , akkor minden arányérték mellett , tehát minden mellett felezi a négyszög területét. Ezt kellett bizonyítanunk.
Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn. II. o. t.) | Megjegyzés. A feladat feltételéből csak annyit használtunk fel, hogy a egyenes felezi a négyszög területét , és valamilyen, 1-től különböző, de különben tetszőleges érték mellett.
|
|