A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A test felvágásához használandó koordinátatengely-síkok éppen azok a határok, amelyeken átlépve egyik-egyik koordináta előjele megváltozik, és ez kihatással van az abszolút érték függvény képzési módjára. Így az , tengelyek által kifeszített, egyenletű tengelysík egyik oldalán (a tengelyt szokásosan függőlegesen fölfelé irányítva a felső oldalán) , a másik (az alsó) oldalán . Az , , valamint a , tengelyek alkotta tengelysík hasonlóan az , ill. koordináta előjele szerint vágja két-két részre a teret, és e 3 sík együttvéve a következő 8 térnyolcadot alakítja ki (1. ábra): 1. ábra
Jelöljük a vizsgálandó K testnek az egymás utáni térnyolcadokba eső részét rendre KI-gyel, KII-vel, ..., KVIII-cal. 2. Az O origóra való tükrözés a P(x,y,z) koordinátákkal bíró pontot a P¯ (-x,-y,-z) pontba viszi át (magát O-t pedig önmagába). Ebben a két pontban (1) bal oldalának az értéke egyenlő, így P¯ akkor és csak akkor van benne a K-ban vagy van a K határán, ha P benne van K-ban vagy a határán. Eszerint az O-ra való tükrözés K-t mint egészet önmagába viszi át, a vizsgálandó részeit pedig páronként egymásba, tehát a | KI és KVII,KII és KVIII,KIII és KV,KIV és KVI | párok mindegyikében a két rész egybevágó egymással. Ahogyan a megszokott x, y síkban az y=x egyenletű egyenesre ‐ az I. és III. síknegyedek szögfelező egyenesére ‐ való tükrözés az (x,y) és (y,x) pontokat egymásba viszi át, hasonlóan a z tengely és az x, y sík y=x egyenletű egyenese által meghatározott S1 síkra tükrözve a teret, a P(x,y,z) és P1 (y,x,z) pontok egymásba mennek át. (Ez a sík felezi az I., a III., az V. és a VII. sorszámú térnyolcadokat.) Mivel (1) bal oldalának értéke P1-ben ugyanannyi, mint P-ben, azért az S1-en való tükrözés is önmagába viszi át K-t, a KII, KIV, valamint KVI, KVIII rész-párokat pedig egymásba, tehát a mondott részek páronként egybevágók. (Ezt sejteti az is, hogy a mondott részeket tartalmazó térnyolcadokban x és y egymással ellentétes előjelűek, és pl. a II.-ban x olyan jelű, mint a IV.-ben az y s i. t. K-nak páratlan indexű részeit pedig önmagukba viszi át a most tekintett tükrözés.) Az eddigiek szerint KII, KIV, és KVI, KVIII egybevágók. Végül egybevágók velük a föntebbi KIII, KV pár tagjai is, vagyis KI, és KVII kivételével mind a 6 része K-nak. Ugyanis az x, z sík x=z egyenletű egyenese és az y tengely által meghatározott S2, síkra tükrözve a teret, valamint megvizsgálva (1) bal oldalán az x, z csere következményét, hasonlóan kapjuk, hogy KII egybevágó KV-vel és KIII a KVIII-cal. Ezzel a feladat első állítását bebizonyítottuk. (Ehhez az egyes részek alakjáról nem használtunk fel semmit.) 3. Mivel KII-ben x<0,y>0,z>0, ezért itt |x|=-x,|y|=y,|z|=z. Ezeket (1) bal oldalába helyettesítve, és alkalmazva a tetszőleges valós a, b számpárra érvényes egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy KII, pontjaira teljesül egyrészt | 2≥-x+|y+z|+|x+y+z|≥-x+y+z+x+y+z=2(y+z), | másrészt |a|=|-a| alapján a következő is: | 2≥|-x|+y+z+|-x-y-z|≥-x+y+z-x-y-z=-2x=2|x|. | Tehát KII pontjaira a II. egyenlőtlenségrendszeren kívül az egyenlőtlenségek is teljesülnek. Viszont II. és (2) maga után vonja (1)-et, hiszen (1) bal oldalának az értékére, ha x+y+z≥0, fennáll | |x|+|y|+|z|+|x+y+z|=-x+y+z+x+y+z=2(y+z)≤2, | ha pedig x+y+z<0, akkor | |x|+|y|+|z|+|x+y+z|=-x+y+z-x-y-z=-2x≤2. |
Ezek szerint KII pontjainak y és z koordinátáira teljesül: ezek az y, z síknak a (0,0), (1,0), (0,1) pontjai által meghatározott háromszögét jelölik ki. Ezt a háromszöget úgyis megkapjuk, ha a négyzetet az y+z=1 egyenessel kettévágjuk (2. ábra). 2. ábra Másrészt KII pontjainak első koordinátáira teljesül: ez (3)-mal együtt egy kockát határoz meg a térben, KII-t ebből a kockából úgy kaphatjuk meg, ha a kockát kettévágjuk az y, z sík y+z=1 egyenesén átmenő és az x tengellyel párhuzamos síkkal (3. ábra). 3. ábra Ezzel feladatunk második állítását is bebizonyítottuk. A K testről összképet mutat a 4. ábra. 4. ábra
|