Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.103	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos Tamás (Eger, Gárdonyi G. G., II. oszt.) , Balogh Zoltán , Füredi Zoltán , Kópházi József (Tatabánya, Árpád G., II. oszt.) , Kovács István (Budapest, I. István G., IV. oszt.) , Petz Dénes , Pintér István (Budapest, I. István G., III. oszt.) , Reviczky János , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Totik Vilmos (Győr, Révai M. G., III. oszt.)
Füzet:	1972/szeptember, 23 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek egybevágósága, Poliéderek átdarabolása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Kocka, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: Pontversenyen kívüli P.103

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A test felvágásához használandó koordinátatengely-síkok éppen azok a határok, amelyeken átlépve egyik-egyik koordináta előjele megváltozik, és ez kihatással van az abszolút érték függvény képzési módjára. Így az $x$ , $y$ tengelyek által kifeszített, $z = 0$ egyenletű tengelysík egyik oldalán (a $z$ tengelyt szokásosan függőlegesen fölfelé irányítva a felső oldalán) $z > 0$ , a másik (az alsó) oldalán $z < 0$ . Az $y$ , $z$ , valamint a $z$ , $x$ tengelyek alkotta tengelysík hasonlóan az $x$ , ill. $y$ koordináta előjele szerint vágja két-két részre a teret, és e 3 sík együttvéve a következő 8 térnyolcadot alakítja ki (1. ábra):

1. ábra

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} I. \\ II. \\ III. \\ IV. \end{matrix} & } \begin{matrix}  \end{matrix} & \begin{matrix} x > 0, \\ x < 0, \\ x > 0, \end{matrix} & \begin{matrix} } \begin{matrix} y > 0, \end{matrix} \\ }\begin{matrix} y < 0, \end{matrix} \end{matrix} & }\begin{matrix} z > 0; \end{matrix} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} V. \\ VI. \\ VII. \\ VIII. \end{matrix} & } \begin{matrix}  \end{matrix} & \begin{matrix} x > 0, \\ x < 0, \\ x > 0, \end{matrix} & \begin{matrix} } \begin{matrix} y > 0, \end{matrix} \\ }\begin{matrix} y < 0, \end{matrix} \end{matrix} & }\begin{matrix} z < 0. \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Jelöljük a vizsgálandó

K

testnek az egymás utáni térnyolcadokba eső részét rendre

K_{I}

-gyel,

K_{II}

-vel,

...

K_{VIII}

-cal.
2. Az

O

origóra való tükrözés a

P (x, y, z)

koordinátákkal bíró pontot a

\bar{P}

(- x, - y, - z)

pontba viszi át (magát

O

-t pedig önmagába). Ebben a két pontban (1) bal oldalának az értéke egyenlő, így

\bar{P}

akkor és csak akkor van benne a

K

-ban vagy van a

K

határán, ha

P

benne van

K

-ban vagy a határán. Eszerint az

O

-ra való tükrözés

K

-t mint egészet önmagába viszi át, a vizsgálandó részeit pedig páronként egymásba, tehát a

\begin{matrix} K_{I} és K_{VII}, K_{II} és K_{VIII}, K_{III} és K_{V}, K_{IV} és K_{VI} \end{matrix}

párok mindegyikében a két rész egybevágó egymással.
Ahogyan a megszokott

x

y

síkban az

y = x

egyenletű egyenesre ‐ az I. és III. síknegyedek szögfelező egyenesére ‐ való tükrözés az

(x, y)

és

(y, x)

pontokat egymásba viszi át, hasonlóan a

z

tengely és az

x

y

sík

y = x

egyenletű egyenese által meghatározott

S_{1}

síkra tükrözve a teret, a

P (x, y, z)

és

P_{1}

(y, x, z)

pontok egymásba mennek át. (Ez a sík felezi az I., a III., az V. és a VII. sorszámú térnyolcadokat.) Mivel (1) bal oldalának értéke

P_{1}

-ben ugyanannyi, mint

P

-ben, azért az

S_{1}

-en való tükrözés is önmagába viszi át

K

-t, a

K_{II}

K_{IV}

, valamint

K_{VI}

K_{VIII}

rész-párokat pedig egymásba, tehát a mondott részek páronként egybevágók. (Ezt sejteti az is, hogy a mondott részeket tartalmazó térnyolcadokban

x

és

y

egymással ellentétes előjelűek, és pl. a II.-ban

x

olyan jelű, mint a IV.-ben az

y

s i. t.

K

-nak páratlan indexű részeit pedig önmagukba viszi át a most tekintett tükrözés.) Az eddigiek szerint

K_{II}

K_{IV}

, és

K_{VI}

K_{VIII}

egybevágók.

Végül egybevágók velük a föntebbi

K_{III}

K_{V}

pár tagjai is, vagyis

K_{I}

, és

K_{VII}

kivételével mind a 6 része

K

-nak. Ugyanis az

x

z

sík

x = z

egyenletű egyenese és az

y

tengely által meghatározott

S_{2}

, síkra tükrözve a teret, valamint megvizsgálva (1) bal oldalán az

x

z

csere következményét, hasonlóan kapjuk, hogy

K_{II}

egybevágó

K_{V}

-vel és

K_{III}

K_{VIII}

-cal.
Ezzel a feladat első állítását bebizonyítottuk. (Ehhez az egyes részek alakjáról nem használtunk fel semmit.)

3. Mivel

K_{II}

-ben

x < 0, y > 0, z > 0,

ezért itt

| x | = - x, | y | = y, | z | = z

. Ezeket (1) bal oldalába helyettesítve, és alkalmazva a tetszőleges valós

a

b

számpárra érvényes

\begin{matrix} | a | + | b | \geq | a + b | \end{matrix}

egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy

K_{II}

, pontjaira teljesül egyrészt

\begin{matrix} 2 \geq - x + | y + z | + | x + y + z | \geq - x + y + z + x + y + z = 2 (y + z), \end{matrix}

másrészt

| a | = | - a |

alapján a következő is:

\begin{matrix} 2 \geq | - x | + y + z + | - x - y - z | \geq - x + y + z - x - y - z = - 2 x = 2 | x | . \end{matrix}

Tehát

K_{II}

pontjaira a II. egyenlőtlenségrendszeren kívül az

\begin{matrix} | x | \leq 1, y + z \leq 1 \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenségek is teljesülnek.
Viszont II. és (2) maga után vonja (1)-et, hiszen (1) bal oldalának az értékére, ha

x + y + z \geq 0,

fennáll

\begin{matrix} | x | + | y | + | z | + | x + y + z | = - x + y + z + x + y + z = 2 (y + z) \leq 2, \end{matrix}

ha pedig

x + y + z < 0

, akkor

\begin{matrix} | x | + | y | + | z | + | x + y + z | = - x + y + z - x - y - z = - 2 x \leq 2. \end{matrix}

Ezek szerint

K_{II}

pontjainak

y

és

z

koordinátáira

\begin{matrix} y > 0, z > 0, y + z \leq 1 \end{matrix}

teljesül: ezek az

y

z

síknak a

(0, 0)

(1, 0)

(0, 1)

pontjai által meghatározott háromszögét jelölik ki. Ezt a háromszöget úgyis megkapjuk, ha a

\begin{matrix} 0 < y \leq 1, 0 < z \leq 1 \end{matrix}

(3)

négyzetet az

y + z = 1

egyenessel kettévágjuk (2. ábra).

2. ábra

Másrészt

K_{II}

pontjainak első koordinátáira

\begin{matrix} 0 < - x \leq 1 \end{matrix}

teljesül: ez (3)-mal együtt egy kockát határoz meg a térben,

K_{II}

-t ebből a kockából úgy kaphatjuk meg, ha a kockát kettévágjuk az

y

z

sík

y + z = 1

egyenesén átmenő és az

x

tengellyel párhuzamos síkkal (3. ábra).

3. ábra

Ezzel feladatunk második állítását is bebizonyítottuk. A

K

testről összképet mutat a 4. ábra.

4. ábra

Füredi Zoltán