Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.100	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrahám László , Ábrahám Tibor , Boros Péter , Császár Gyula , Ferró József , Füredi Zoltán , Hannák László , Komornik Vilmos , Reviczky János , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Turi Erzsébet , Varga Vera , Zoltán László
Füzet:	1971/szeptember, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Alakzatok köré írt kör, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: Pontversenyen kívüli P.100

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C D$ konvex húrnégyszögben $A B = a = 36$ , $B C = b = 91$ , $C D = c = 315$ , $D A = d = 260$ egység, és $B A D ∢ = α$ .

Így

D C B ∢ = 180^{\circ} - α

és

\begin{matrix} B D^{2} = e^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d cos α = b^{2} + c^{2} + 2 b c cos α, \\ cos α = \frac{(a^{2} + d^{2}) - (b^{2} + c^{2})}{2 (a d + b c)} = - \frac{33}{65}, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} e = 280, sin α = \frac{56}{65}, \end{matrix}

és ezekből a körülírt kör sugara

\begin{matrix} r = \frac{e}{2 sin α} = 162, 5 egység . \end{matrix}

Négyszögünk szemben fekvő oldalpárjainak összege egyenlő:

36 + 315 = 91 + 260 = s

, a kerület fele, tehát létezik beírt köre. Ennek kiszámításához a négyszög területe

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} a d sin α + \frac{1}{2} b c sin α = 16 380 egység, \end{matrix}

így pedig a beírt kör sugara

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} = \frac{140}{3} egység . \end{matrix}