Feladat: Pontversenyen kívüli P.100 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ábrahám László ,  Ábrahám Tibor ,  Boros Péter ,  Császár Gyula ,  Ferró József ,  Füredi Zoltán ,  Hannák László ,  Komornik Vilmos ,  Reviczky János ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Turi Erzsébet ,  Varga Vera ,  Zoltán László 
Füzet: 1971/szeptember, 27 - 28. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Alakzatok köré írt kör, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/március: Pontversenyen kívüli P.100

Egy húrnégyszög egymás utáni oldalai 36, 91, 315 és 260 egységnyiek. Számítsuk ki a köréje és a beléje írható kör sugarát!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABCD konvex húrnégyszögben AB=a=36, BC=b=91, CD=c=315, DA=d=260 egység, és BAD=α.

 

 

Így DCB=180-α és
BD2=e2=a2+d2-2adcosα=b2+c2+2bccosα,cosα=(a2+d2)-(b2+c2)2(ad+bc)=-3365,


továbbá
e=280,sinα=5665,
és ezekből a körülírt kör sugara
r=e2sinα=162,5  egység.

Négyszögünk szemben fekvő oldalpárjainak összege egyenlő: 36+315=91+260=s, a kerület fele, tehát létezik beírt köre. Ennek kiszámításához a négyszög területe
t=12adsinα+12bcsinα=16380  egység,
így pedig a beírt kör sugara
ϱ=ts=1403  egység.