Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.79	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Göndőcs Ferenc
Füzet:	1971/november, 148 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/október: Pontversenyen kívüli P.79

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ötödfokú polinomnak legföljebb $4$ különböző helyen lehet szélső értéke ‐ amennyiben deriváltjának, ami negyedfokú, mind a négy zérushelye valós és egymástól különböző ‐, és a $4$ szélső érték közt csak váltakozva követheti egymást a $2$ maximum és a $2$ minimum, mert bármelyik szomszédos párjuk közt a derivált értéke vagy állandóan pozitív vagy állandóan negatív. Mivel a keresett $p (x)$ esetében a maximumok pozitívok, a minimumok negatívok, egy-egy maximum és minimum között zérushelye is van $p (x)$ -nek, szám szerint $3$ .

Elég lesz olyan

p (x)

-et képezni, amelyre a közbülső zérushelyek egyike

x = 0

, a további kettő pedig

\pm c

, ahol

0 < c < 1

. Elképzelésünk szerint tehát a polinom ilyen alakú:

\begin{matrix} p (x) = A (x + 1) (x + c) x (x - c) (x - 1) = & (1) \\ = A [x^{5} - (1 + c^{2}) x^{3} + c^{2} x], \end{matrix}

ahol

A

is meghatározandó állandó. Azt fogjuk belátni, hogy az

A

és

c

paraméterek értéke megválasztható úgy, hogy

p (x)

-re teljesüljenek a feladat követelményei.
A szélső értékek helyei csak a derivált gyökhelyei lehetnek, tekintsük tehát a

\begin{matrix} p' (x) = A [5 x^{4} - 3 (1 + c^{2}) x^{2} + c^{2}] = 0 \end{matrix}

(2)

negyedfokú egyenletet. Ennek

x^{2}

-re mint ismeretlenre két különböző valós gyöke van, ha

\begin{matrix} D = 9 {(1 + c^{2})}^{2} - 20 c^{2} > 0, \end{matrix}

ami valóban teljesül, hiszen

\begin{matrix} D = 9 - 2 c^{2} + 9 c^{4} = 9 {(1 - \frac{c^{2}}{9})}^{2} + \frac{80}{9} c^{4} > 0. \end{matrix}

(

x = 0

nem gyöke (2)-nek, hiszen

c \neq 0

.) Jelöljük e gyökök közül a pozitívakat

x_{1}

-gyel és

x_{2}

-vel ‐ a másik kettő

- x_{1}

és

- x_{2}

‐, ekkor a gyökök és az együtthatók közti összefüggés szerint (a (2)-t

x^{2}

-re vonatkozó másodfokú egyenletnek tekintve)

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{3 (1 + c^{2})}{5}; x_{1}^{2} x_{2}^{2} = \frac{c^{2}}{5} \end{matrix}

(3)

és

p' (x) = 5 A (x^{2} - x_{1}^{2}) (x^{2} - x_{2}^{2})

. Ebből láthatjuk, hogy

p' (x)

mind a négy gyökhelyen előjelet vált, ezekben tehát

p (x)

-nek valóban szélső értéke van.
Azt szeretnénk, ha mondjuk

\begin{matrix} p (x_{1}) = + 1; p (x_{2}) = - 1 \end{matrix}

(4)

volna; mivel

p (x)

páratlan függvény, ebből már következik, hogy

\begin{matrix} p (- x_{1}) = - 1; p (- x_{2}) = + 1. \end{matrix}

Elegendő ehhez

c

-t úgy megválasztanunk, hogy

\begin{matrix} p (x_{1}) + p (x_{2}) = 0 \end{matrix}

(5)

legyen, hiszen az

A

állandó megválasztható úgy, hogy

p (x_{1}) = 1

legyen, és akkor (5) alapján

p (x_{2}) = - 1

is teljesül. Mivel

x_{1}

és

x_{2}

gyöke (2)-nek,

\begin{matrix} 5 x_{i}^{5} = 3 (1 + c^{2}) x_{i}^{3} - c^{2} x_{i} (i = 1, 2), \end{matrix}

így (3) alapján

p (x_{1}) + p (x_{2})

előállítható anélkül, hogy

x_{1}

és

x_{2}

értékét meg kellene adnunk:

\begin{matrix} \frac{5}{A} [p (x_{1}) + p (x_{2})] = (5 x_{1}^{5} + 5 x_{2}^{5}) - 5 (1 + c^{2}) (x_{1}^{3} + x_{2}^{3}) + 5 c^{2} (x_{1} + x_{2}) = \\ = 4 & c^{2} (x_{1} + x_{2}) - 2 (1 + c^{2}) (x_{1}^{3} + x_{2}^{3}) = 2 (x_{1} + x_{2}) [2 c^{2} - (1 + c^{2}) (x_{1}^{2} - x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})] = \\ = 2 & (x_{1} + x_{2}) [2 c^{2} - (1 + c^{2}) (\frac{3 + 3 c^{2}}{5} - \frac{c}{\sqrt[]{5}})] . \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy

x_{1}

x_{2}

c

pozitív volta miatt (3)-ból

x_{1} x_{2} = \frac{c}{\sqrt[]{5}}

következik.)
Ez csak úgy lehet

0

, ha

c

gyöke a

\begin{matrix} 2 c^{2} - (1 + c^{2}) (\frac{3 + 3 c^{2}}{5} - \frac{c}{\sqrt[]{5}}) = 0 \end{matrix}

(6)

egyenletnek. Osszuk ezt

c^{2}

-nel és helyettesítsük

c + \frac{1}{c}

helyére

y

-t, így a

\begin{matrix} 2 - y (\frac{3 y}{5} - \frac{1}{\sqrt[]{5}}) = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenletet kapjuk, melynek gyökei

\begin{matrix} y_{1} = \sqrt[]{5}, y_{2} = - \frac{2 \sqrt[]{5}}{3}, \end{matrix}

de mivel

c + \frac{1}{c} \geq 2

, számunkra csak

y_{1}

használható. A

\begin{matrix} c + \frac{1}{c} = \sqrt[]{5} \end{matrix}

másodfokú egyenletből pedig

\begin{matrix} c_{1} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}; c_{2} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}, \end{matrix}

és célunknak csak

c_{1}

felel meg, mert

c_{2} > 1

c_{1}

valóban gyöke (6)-nak, tehát mellette

p (x)

-re teljesül (5).
Már csak azt kell megmutatnunk, hogy

c_{1}

mellett

x_{1}

és

x_{2}

is a

(0, 1)

intervallumhoz tartozik. Valóban, így

\begin{matrix} x_{1}^{2} = \frac{10 - 4 \sqrt[]{5}}{10} < 1, és x_{2}^{2} = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{10} < 1. \end{matrix}

Végül

A

-t meghatározva és megelégedve az állandók közelítő, de áttekinthető értékeivel, (1) helyére konkrétan a következő polinom lép:

\begin{matrix} p (x) = 12, 4 (x^{5} - 1, 38 x^{3} + 0, 38 x) . \end{matrix}

Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy

p (x)

-en és

- p (x)

-en kívül nincs más megoldása a feladatnak.