Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.73	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint L. , Füredi Z. , Gulyás Erzsébet , Göndőcs F. , Hegyi F. , Less Gy. , Reviczky J. , Stachó B. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária
Füzet:	1971/november, 147 - 148. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: Pontversenyen kívüli P.73

Határozzuk meg azokat a tízes számrendszerbeli háromjegyű számokat, amelyek egyenlők jegyeik köbének összegével.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kívánt tulajdonságú szám egymás utáni számjegyeit $A$ , $B$ , $C$ -vel, ekkor

\begin{matrix} 1 \leq A \leq 9, 0 \leq B, C \leq 9, \\ 100 A & + 10 B + C = A^{3} + B^{3} + C^{3}, azaz \\ 100 A & - A^{3} = (B^{3} - 10 B) + (C^{3} - C) . & (1) \end{matrix}

A bal oldal

9

, a jobb oldal tagjai

10 - 10

értéket vehetnek fel, ezekből kell összeválogatnunk egyet-egyet úgy, hogy (1) teljesüljön. Az értékek:

\begin{matrix} \begin{matrix} A, B, C = & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 100 A - A^{3} = a = & - & 99 & 192 & 273 & 336 & 375 & 384 & 357 & 288 & 171 \\ B^{3} - 10 B = b = & 0 & - 10 + 1 & - 20 + 8 & - 10 + 7 & 24 & 75 & 156 & 273 & (432) & (639) \\ C^{3} - C = c = & 0 & 0 & 6 & 24 & 60 & 120 & 210 & 336 & (504) & (720) \end{matrix} \end{matrix}

A próbálgatási munkát csökkenti a következő két észrevétel.

a

legnagyobb értéke

384

b

legnagyobb abszolút értékű negatív értéke

- 12

c

pedig nem negatív, így

b

és

c

utolsó két értéke nem szerepelhet megoldásban.

a

és

b

egyes helyi értékű számjegye csupa különböző értéket vesz fel (a

B = 1

2

3

esetekben ezt pozitívnak írtuk),

c

-nek egyes helyi értékű jegye pedig csak a

0

4

6

értékeket.
Ezekre támaszkodva

a

b

c

értékhármasok legtöbbjéről már csupán az egyes helyi értékű számjegyek alapján kimondhatjuk, hogy nem megfelelők, ill. selejtezés helyett célratörően végezhetjük a válogatást. Éspedig ha

c

utolsó jegye

0

, akkor

a

és

b

utolsó jegye csak egyező lehet; ha

c

utolsó jegye

4

(ill.

6

), akkor

a

utolsó jegye vagy

4

-gyel (ill.

6

-tal) nagyobb, vagy pedig

6

-tal (ill.

4

-gyel) kisebb, mint

b

utolsó jegye. Az így megvizsgálandónak maradó értékhármasokban a teljes összegeket ellenőrizve a következő 4 megoldást találjuk:

\begin{matrix} cutosó jegye: & 0 & 0 & 4 & 6 \\ butolsó jegye: & 3 & 3 & 5 & 0 \\ autolsó jegye: & 3 & 3 & 9 & 6 \\ cértéke: & 0 & 0 & 24 & 336 \\ bértéke: & 273 & 273 & 75 & 0 \\ aértéke: & 273 & 273 & 99 & 336 \\ Cértéke: & 0 & 1 & 3 & 7 \\ Bértéke: & 7 & 7 & 5 & 0 \\ Aértéke: & 3 & 3 & 1 & 4 \\ A keresett szám: & 370 & 371 & 153 & 407 \end{matrix}