Feladat: Pontversenyen kívüli P.73 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bálint L. ,  Füredi Z. ,  Gulyás Erzsébet ,  Göndőcs F. ,  Hegyi F. ,  Less Gy. ,  Reviczky J. ,  Stachó B. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária 
Füzet: 1971/november, 147 - 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/szeptember: Pontversenyen kívüli P.73

Határozzuk meg azokat a tízes számrendszerbeli háromjegyű számokat, amelyek egyenlők jegyeik köbének összegével.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kívánt tulajdonságú szám egymás utáni számjegyeit A, B, C-vel, ekkor

1A9,0B,C9,100A+10B+C=A3+B3+C3,azaz100A-A3=(B3-10B)+(C3-C).(1)
A bal oldal 9, a jobb oldal tagjai 10-10 értéket vehetnek fel, ezekből kell összeválogatnunk egyet-egyet úgy, hogy (1) teljesüljön. Az értékek:
A,B,C=0123456789100A-A3=a=-99192273336375384357288171B3-10B=b=0-10+1-20+8-10+72475156273(432)(639)C3-C=c=0062460120210336(504)(720)


A próbálgatási munkát csökkenti a következő két észrevétel. a legnagyobb értéke 384, b legnagyobb abszolút értékű negatív értéke -12, c pedig nem negatív, így b és c utolsó két értéke nem szerepelhet megoldásban. a és b egyes helyi értékű számjegye csupa különböző értéket vesz fel (a B=1, 2, 3 esetekben ezt pozitívnak írtuk), c-nek egyes helyi értékű jegye pedig csak a 0, 4, 6 értékeket.
Ezekre támaszkodva a, b, c értékhármasok legtöbbjéről már csupán az egyes helyi értékű számjegyek alapján kimondhatjuk, hogy nem megfelelők, ill. selejtezés helyett célratörően végezhetjük a válogatást. Éspedig ha c utolsó jegye 0, akkor a és b utolsó jegye csak egyező lehet; ha c utolsó jegye 4 (ill. 6), akkor a utolsó jegye vagy 4-gyel (ill. 6-tal) nagyobb, vagy pedig 6-tal (ill. 4-gyel) kisebb, mint b utolsó jegye. Az így megvizsgálandónak maradó értékhármasokban a teljes összegeket ellenőrizve a következő 4 megoldást találjuk:
 


c utosó jegye:0046b utolsó jegye:3350a utolsó jegye:3396c értéke:0024336b értéke:273273750a értéke:27327399336C értéke:0137B értéke:7750A értéke:3314A keresett szám:370371153407