Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.17	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Göndőcs Ferenc
Füzet:	1970/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkbeli ponthalmazok távolsága, Négyzetrács geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: Pontversenyen kívüli P.17

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás a feladat b) részéhez¹. A rácspontok bejárásához használt útvonalat a $P_{k}$ pontokkal egymáshoz hasonló darabokra vágtuk, így elég ezek egyikét, mondjuk a $P_{k} P_{k + 1}$ töröttvonalat vizsgálnunk. A $P_{k}$ ponthoz az

\begin{matrix} N (k) = {(2 k - 1)}^{2} + 1 \end{matrix}

számot rendeltük, így az

N

-nel jelzett pont akkor lesz ezen az útszakaszon, ha

\begin{matrix} {(2 k - 1)}^{2} + 1 ≦ N ≦ {(2 k + 1)}^{2} + 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{N - 1} - 1}{2} ≦ k ≦ \frac{\sqrt[]{N - 1} + 1}{2} . \end{matrix}

(1)

P_{k} P_{k + 1}

útvonal origótól legtávolabbi pontja maga a

P_{k + 1}

végpont, melynek origótól mért távolsága (1) alapján

\begin{matrix} D_{k} = (k + 1) \sqrt[]{2} ≦ \frac{\sqrt[]{N - 1} + 3}{2} \cdot \sqrt[]{2} = \frac{\sqrt[]{N - 1} + 3}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Az útvonal origóhoz legközelebbi pontjának abszcisszája

(- k + 1)

, ordinátája vagy

+ 1

vagy

- 1

, így az útvonal minden pontjának az origótól mért távolsága legalább

(k - 1)

\begin{matrix} d_{k} = \sqrt[]{{(k - 1)}^{2} + 1} > k - 1 ≧ \frac{\sqrt[]{N - 1} - 3}{2} . \end{matrix}

N

természetes számmal jelzett pont origótól mért

d (N)

távolsága tehát a

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{N - 1} - 3}{2} ≦ d (N) ≦ \frac{\sqrt[]{N - 1} - 3}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

korlátok közé esik.

¹Az a) rész megoldását lásd a K. M. L. 38 (1969) 218‐219. o., ‐ annak eredményeit és jelöléseit itt megismétlésük nélkül használjuk fel, javasoljuk tehát, hogy az érdeklődők előbb olvassák el a mondott megoldást