A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Jelöljük -vel merőleges vetületét a , , pontok síkján; határozzuk meg először ennek a koordinátáit. Megmutatjuk, hogy a háromszög köré írható kör középpontja. A háromszögek ugyanis derékszögűek, tehát | | (2) | ahol a jobb oldalon az előírás szerint áll. Jelöljük a szakasznak, a keresett tetraéder magasságának hosszát -mal. Ekkor (2) alapján ami állításunkat igazolja.
A , pontok egyenlő távolságra vannak a , pontoktól, a szakaszra eső vetületük tehát e szakasz felezőpontjával azonos. Jelöljük a pont koordinátáit -val. Mivel szabályos háromszög, | | és (3) alapján | | Ezek szerint a pont koordinátái . II. Jelöljük a keresett pontok () koordinátáit ()-nel. A feladat szerint | | Tegyük fel, hogy már meghatároztuk ezeket a pontokat úgy, hogy bármelyik két pont távolsága . Megmutatjuk, hogy tetszőleges mellett pontosan egy olyan pont van, melynek csak az első koordinátája különbözik -tól és az pontoktól egyenlő távolságra van. A pontnak minden koordinátája , tehát azonos -lal, -nek csak az első koordinátája nem , és -tól, -től egyenlő távolságra van, így ez az első koordináta csak lehet. Tegyük fel, hogy állításunk helyes minden értékre, és a pont egyenlő távolságra van az pontoktól. Ha , akkor az , pontok távolsága (1) szerint | | (4) | hiszen , ha . A pontnak pedig az ponttól mért távolsága | | (5) | (4)-ből (5)-öt kivonva kapjuk, hogy
A pont tehát egyenlő távolságra van az pontoktól, így azonos -val, azaz minden olyan pont első koordinátája egyenlő a pont első koordinátájával, amely az pontoktól egyenlő távolságra van. Jelöljük a pont koordinátáit -val, és legyen a pont egyenlő távolságra az pontoktól. A fentiek alapján első koordinátája megegyezik koordinátáival, jelöljük a -iket -gyel, és tegyük fel, hogy a többi koordináta . Megmutatjuk, hogy egyértelműen meg van határozva. Mivel az pont is egyenlő távolságra van az pontoktól, első koordinátája is megegyezik koordinátáival; jelöljük -ik koordinátáját -gyel. (6) alapján a pontra kapjuk, hogy ha , a pontra pedig (8) és (7) különbségébe az | | értéket helyettesítve kapjuk, hogy
a pontot tehát valóban egyértelműen meghatározzák az pontok. Azt is kaptuk, hogy ha , akkor első koordinátája megegyezik első koordinátájával, és első koordinátája megegyezik első koordinátájával. Az pont koordinátái tehát: | | (10) | ahol a és együtthatók kapcsolatát (9) adja meg. (10) és (1) alapján és távolságára kapjuk, hogy amiből, (9)-et felhasználva rekurziót kaphatunk az számokra: | | (12) | Az értékből kiindulva kapjuk, hogy | | ezek alapján azt sejtjük, hogy Ezt (12) alapján teljes indukcióval bizonyítjuk be. | | Végül (13) és (9) alapján | | (14) |
Ha tehát van a feladatnak megoldása, akkor csak a (10), (13), (14) összefüggésekkel megadott koordinátájú pontok felelhetnek meg. Vegyük észre, hogy tehát ha , az így kapott , pontok távolsága
a kapott pontok tehát valóban megfelelőek.
Megjegyzés. (15) alapján könnyen bizonyítható, hogy a pont az pontok ,,súlypontja'', azaz ha
|