Kezdőlap


Feladat:	Gy.2898	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Kozma Róbert , Makai Márton , Tóth Gábor Zsolt , Vörös Zoltán
Füzet:	1994/december, 487 - 488. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/február: Gy.2898

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vektorok segítségével végezzük el a szerkesztést. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Egy tetszőleges $O$ pontból indítsunk helyvektorokat az $A_{i}$ és a $H_{i}$ pontokhoz, jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűkkel. Ekkor a harmadolópont helyvektorára vonatkozó összefüggés alapján felírhatjuk a következő négy egyenletet:

\begin{matrix} h_{1} = \frac{2 a_{1} + a_{2}}{3}, h_{2} = \frac{2 a_{2} + a_{3}}{3}, h_{3} = \frac{2 a_{3} + a_{4}}{3}, h_{4} = \frac{2 a_{4} + a_{2}}{3} . \end{matrix}

Ezekből egyszerű számolással adódik, hogy

a_{1} = \frac{1}{5} (8 h_{1} - 4 h_{2} + 2 h_{3} - h_{4})

.
Ezek után a szerkesztés menete: Tetszőlegesen felvesszük az

O

pontot. A

h_{i}

vektorok ismeretében megszerkesztjük az

a_{1}

vektort és így az

A_{1}

pontot.

A_{1}

és

H_{1}

ismeretében

A_{2}

, majd ezután

A_{3}

és

A_{4}

úgy kapható, hogy az

A_{i} H_{i}

szakaszt

A_{i}

-ből háromszorosára nagyítjuk.
Az így megszerkesztett

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

pontnégyes megfelelő szakaszainak a

H_{i}

pontok mindig harmadolópontjai lesznek, mert a szerkesztésből következően teljesülni fog az (1) egyenletrendszer. Előfordulhat azonban, hogy az

A_{i}

pontok nem alkotnak valódi négyszöget. A feladatnak tehát vagy 1, vagy 0 megoldása van.
Megjegyzés. Egy szerkesztési feladatnak az előző ─ vektorokat használó ─ megoldása talán egy kicsit szokatlan, de esetünkben a legegyszerűbb. Egy másik megoldás vázlata a következő:
Jelöljük a

H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}

négyszög

H_{i} H_{i + 1}

oldalának

H_{i + 1}

-hez közelebbi harmadolópontját

B_{i}

-vel (l. az ábrát). az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

négyszög

A_{i} A_{i + 1}

oldalának

H_{I}

-től különböző harmadolópontját pedig

C_{i}

-vel. Belátható, hogy

C_{2} H_{3} ∥ B_{1} B_{3}

és

C_{2} H_{1} ∥ B_{2} B_{4}

. Így

C_{2}

, s utána az

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}

négyszög egyszerűen megszerkeszthető.

Makai Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)