Feladat: Gy.2898 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Burcsi Péter ,  Kozma Róbert ,  Makai Márton ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1994/december, 487 - 488. oldal  PDF file
Témakör(ök): Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/február: Gy.2898

Jelöljük az A1A2A3A4 négyszög AiAi+1 oldalának Ai-hez közelebbi harmadolópontját Hi-vel (i=1,2,3,4;A5=A1). Szerkesszük meg az A1A2A3A4 négyszöget, ha adottak a H1, H2, H3 és H4 pontok.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vektorok segítségével végezzük el a szerkesztést. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Egy tetszőleges O pontból indítsunk helyvektorokat az Ai és a Hi pontokhoz, jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűkkel. Ekkor a harmadolópont helyvektorára vonatkozó összefüggés alapján felírhatjuk a következő négy egyenletet:

h1=2a1+a23,h2=2a2+a33,h3=2a3+a43,h4=2a4+a23.

Ezekből egyszerű számolással adódik, hogy a1=15(8h1-4h2+2h3-h4).
Ezek után a szerkesztés menete: Tetszőlegesen felvesszük az O pontot. A hi vektorok ismeretében megszerkesztjük az a1 vektort és így az A1 pontot. A1 és H1 ismeretében A2, majd ezután A3 és A4 úgy kapható, hogy az AiHi szakaszt Ai-ből háromszorosára nagyítjuk.
Az így megszerkesztett A1A2A3A4 pontnégyes megfelelő szakaszainak a Hi pontok mindig harmadolópontjai lesznek, mert a szerkesztésből következően teljesülni fog az (1) egyenletrendszer. Előfordulhat azonban, hogy az Ai pontok nem alkotnak valódi négyszöget. A feladatnak tehát vagy 1, vagy 0 megoldása van.
Megjegyzés. Egy szerkesztési feladatnak az előző ─ vektorokat használó ─ megoldása talán egy kicsit szokatlan, de esetünkben a legegyszerűbb. Egy másik megoldás vázlata a következő:
Jelöljük a H1H2H3H4 négyszög HiHi+1 oldalának Hi+1-hez közelebbi harmadolópontját Bi-vel (l. az ábrát). az A1A2A3A4 négyszög AiAi+1 oldalának HI-től különböző harmadolópontját pedig Ci-vel. Belátható, hogy C2H3B1B3 és C2H1B2B4. Így C2, s utána az A1A2A3A4 négyszög egyszerűen megszerkeszthető.
Makai Márton (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)