Feladat: Gy.2863 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárász Mihály ,  Becker J. ,  Braun Gábor ,  Burcsi Péter ,  Elek Péter ,  Fejes Tóth Péter ,  Fekete Zsolt ,  Harangozó Gábor ,  Hegedűs Márton ,  Katona Zsolt ,  Kovács Baldvin ,  Lippner Gábor ,  Orbán András ,  Pap Gyula ,  Perényi Márton ,  Reviczky Ágnes ,  Ruzsa Gábor ,  Szabó Anita ,  Székely Katalin ,  Szőke Ervin ,  Tigyi István ,  Tóth Csaba ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Tóth Péter 
Füzet: 1994/április, 191 - 192. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/október: Gy.2863

Az x1, x2, ..., xn számok abszolút értéke legfeljebb 1. Mekkora az
x1x2+x1x3+...+x1xn+x2x3+...+xn-1xn(2)
kifejezés legkisebb lehetséges értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy tetszőleges x1,x2,...,xn szám n-est, amelyre -1xi1 teljesül, i=1,2,...,n. Jelölje az x1x2+x1x3+...xn-1xn kifejezést S. Megmutatjuk, hogy az S értéke nem nő, ha az xi-ket alkalmas módon 1 abszolút értékűvé tesszük. Kigyűjtve ugyanis az x1-es tagokat

S=x1(x2+x3+...+xn)+x2x3+...+xn-1xn,
s ha x2+x3+...+xn0, akkor az x1*=-1 választással az S helyett kapott S* összege S*S míg x2+x3+...+xn<0 mellett x1*=+1 esetén lesz S*S. Ezután ugyanezt elvégezzük sorra x2-vel, x3-mal, ..., xn-nel.

Mindezek alalpján a minimum keresésekor feltehetjük, hogy |xi|=1 teljesül i=1,2,...,n esetén, hiszen biztos, hogy ilyen alakú szám-n-esek esetén is felveszi S a minimumát. Írjuk S-et a következő alakban:
S=(x1+x2+...+xn)2-(x12+x22+...+xn2)2.
Itt (x12+x22+...+xn2)=n, vagyis
S=(x1+x2+...+xn)22-n2-n2,
egyenlőség pontosan akkor áll, ha x1+x2+...+xn=0. Ez páros n esetén el is érhető, az xi-k közül n/2 értéke legyen +1, a többié pedig -1. Páratlan n esetén |x1+x2+...+xn|1, azaz
S12-n2=1-n2,
és ez már elérhető: eggyel több +1-es számot veszünk, mint -1-est.

A keresett legkisebb érték páros n-re -n2, páratlanra pedig 1-n2.
Fejes Tóth Péter (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján