Feladat: Gy.2840 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Elek Péter ,  Kolencsik Attila ,  Lakatos Benjámin ,  Németh Zoltán ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós 
Füzet: 1993/november, 390 - 391. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sík parkettázás, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/április: Gy.2840

Egy 2n×2n-es sakktáblát 2n2 darab 2×1-es dominóval fedtünk le. A 2831-es gyakorlat szerint n=3 esetén létezik olyan vízszintes vagy függőleges egyenes, amely mentén a tábla kettévágható anélkül, hogy bármelyik dominót szét kellene vágni. Az n mely további értékeire igaz ez az állítás?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n=1 érték esetén az állítás nyilvánvalóan igaz. Az n=2 eset a Gy. 2831. megoldásával teljesen megegyező módon intézhető el, így ezt most nem ismételjük meg.

 
 

Az n4 esetre viszont megadunk egy általános lefedési módszert, amely garantálja, hogy a kívánt tulajdonságú egyenes ne létezzék. Ez látható az ábrán; a pontozott helyeken úgy kell folytatni a lefedést, ahogy azt a tábla bal felső, illetve bal alsó sarkánál elkezdtük, a vonalkázott (2n-4)×(2n-5)-ös, illetve (2n-8)×3-as résztáblákon pedig tetszőlegesen lehet a dominókat elhelyezni.
A függőleges és vízszintes egyenesek közül csak a nyilakkal jelölteket kell ellenőrizni (vagyis azokat, melyek ,,egész dominóoldalnyi'' távolságra vannak a tábla széleitől), hiszen a többi egyenes biztosan metsz dominót. Vizsgáljuk először a függőlegeseket. Az 1,2,...,2n-3-as számú egyenesek a fölső és az alsó két sor dominóiból metszenek egyet-egyet, míg a 2n-2-es és a 2n-1-es számúak a 4., illetve a 3. sor jobb szélén lévő dominókba metszenek bele.
A vízszintes egyenesek közül a 2,3,...,2n-2-es számú a bal oldalon lévő sáv dominóit metszi, az 1-es és a 2n-1-es pedig a tábla jobb felső és jobb alsó sarkában levő dominókba metsz bele. Ezzel az összes egyenest megnéztük, a feladat kérdésére a válasz tehát az n=1 és az n=2.
 

 Lakatos Benjámin (Esztergom, Temesvári P. Ferences Gimn. II. o. t.)
 dolgozata alapján