Feladat: Gy.2830 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Elek Péter ,  Hegedűs Márton ,  ifj. P. Tóth Béla ,  Kerekes Tamás ,  Kozma Róbert ,  Nagy Katalin ,  Pap Gyula ,  Tóth Gábor Zsolt ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1993/december, 511. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/március: Gy.2830

Igazoljuk, hogy az
(ab-cd)(dc-ba(1))


kifejezés értéke semmilyen (a,b,c,d) pozitív egészekből álló számnégyes esetén sem lehet pozitív egész.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szorzást elvégezve az adbc+bcad-2 kifejezést kapjuk. Legyen x=adbc, és h egy pozitív egész szám. Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben

x+1x-2=h,
azaz
x2-(h+2)x+1=0.
Ennek megoldásai
x1,2=h+2±(h+2)2-42.
Mivel pozitív egész szám négyzetgyöke vagy egész, vagy irracionális, ezért az előbbi képletben x1 vagy x2 csak úgy lehet racionális, ha (h+2)2-4 négyzetszám. Két négyzetszám különbsége pontosan akkor 4, ha a kisebbik 0, a másik pedig 4. Ezek szerint ekkor (h+2)2=4, vagyis h=0 . Ez azonban ellentétben áll h pozitivitásával, ami az állítás igaz voltát mutatja.