Kezdőlap


Feladat:	Gy.2830	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter , Hegedűs Márton , ifj. P. Tóth Béla , Kerekes Tamás , Kozma Róbert , Nagy Katalin , Pap Gyula , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1993/december, 511. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1993/március: Gy.2830

Igazoljuk, hogy az

\begin{matrix} (\frac{a}{b} - \frac{c}{d}) (\frac{d}{c} - \frac{b}{a} (1)) \end{matrix}

kifejezés értéke semmilyen

(a, b, c, d)

pozitív egészekből álló számnégyes esetén sem lehet pozitív egész.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szorzást elvégezve az $\frac{a d}{b c} + \frac{b c}{a d} - 2$ kifejezést kapjuk. Legyen $x = \frac{a d}{b c}$ , és $h$ egy pozitív egész szám. Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} - 2 = h, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} - (h + 2) x + 1 = 0. \end{matrix}

Ennek megoldásai

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{h + 2 \pm \sqrt[]{{(h + 2)}^{2} - 4}}{2} . \end{matrix}

Mivel pozitív egész szám négyzetgyöke vagy egész, vagy irracionális, ezért az előbbi képletben

x_{1}

vagy

x_{2}

csak úgy lehet racionális, ha

{(h + 2)}^{2} - 4

négyzetszám. Két négyzetszám különbsége pontosan akkor 4, ha a kisebbik 0, a másik pedig 4. Ezek szerint ekkor

{(h + 2)}^{2} = 4

, vagyis

h = 0

. Ez azonban ellentétben áll

h

pozitivitásával, ami az állítás igaz voltát mutatja.