Feladat: Gy.2829 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lőrinczi Ferenc ,  Révai András ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs 
Füzet: 1994/január, 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt gömb, Kocka, Paralelepipedon, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1993/február: Gy.2829

Melyek azok a paralelepipedonok, melyeknek van beírt és körülírt gömbjük is?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy ha egy paralelepipedonnak van körülírt gömbje, akkor az téglatest.
A körülírt gömböt a paralelepipedon egy oldallapjának síkja egy körben metszi, amelyen rajta vannak az oldallap csúcsai. Ezért az oldallapok körbeírható paralelogrammák (a szemközti szögek egyenlőek és összegük 180, ezért derékszögűek); azaz téglalapok. Tehát paralelepipedonunk valóban téglatest.
Ha egy téglatestnek van beírt gömbje, akkor a téglatest szemközti oldallapjai közti távolságok, amelyek a téglatest élének hosszai, a beírt gömb átmérőjével egyenlők. Következésképpen téglatestünk minden oldaléle egyenlő hosszúságú, vagyis kocka.
Összegezve: a paralelepipedonok közül csak a kockának van beírt és körülírt gömbje is.

 
Lőrinczi Ferenc (Jászapáti, Mészáros Lőrinc Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján