|
Feladat: |
Gy.2813 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh Gyula , Bartha Tünde , Beer Andrea , Csorba István , Czipó Béla , Duzmath Csaba , Duzmath Zsolt , Elek Péter , Erdélyi László , Ferencz Viktória , Fey Dániel , Hegedűs Viktor , Horváth Péter , Juhász Mihály , Kiss Márton , Koblinger Egmont , Kováts Antal , Nagy Katalin , Németh Tibor , Puskás Zsolt , Révai András , Séllei Béla , Sikolya Edit , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Valkó Benedek , Verbőczy Zsolt , Veres Tibor , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1993/október,
311 - 313. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/december: Gy.2813 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a tetraéder belső pontja ennek az oldallapoktól mért távolságai , , , , a tetraéder magasságai és az oldallapok területei pedig rendre , , , és , , , (ahol és a területű laphoz tartozik). Ha a pontot összekötjük a tetraéder csúcsaival, ezzel 4 olyan tetraéderre bontottuk, amelyek térfogatai, az ismert összefüggés szerint
| | továbbá azaz Ezt az előző összefüggésbe helyettesítve kapjuk, hogy
| | vagyis
| | (1) |
Mivel a ponton át a tetraéder oldallapjaival párhuzamos síkokat fektettünk, a keletkező kis tetraéderek mindegyik lapja párhuzamos az eredeti test egy-egy lapjával, ami tetraéderek esetén elégséges feltétele a hasonlóságnak. Tehát a négy kis tetraéder hasonló az eredetihez. Hasonló testek térfogataránya a (lineáris) hasonlósági arány köbe, így a kis tetraéderek és az eredeti tetraéder hasonlósági arányai:
Figyelembe véve, hogy két tetraéder hasonlósági aránya megegyezik a megfelelő magasságok arányával, valamint azt, hogy a kis tetraéderek pontból induló magasságai éppen , , , , látjuk, hogy az előbb említett arányok rendre megegyeznek a értékekkel; innen (1) alapján
| | azaz
Megjegyzés. Bár az ábráról látható, mégis felhívjuk a figyelmet: nem az egyes síkok által lemetszett tetraéderekről volt szó, hanem a feldarabolás részei közt találhatókról. 4 sík az eredeti tetraédert 14 részre osztotta fel, a vizsgált 4 kis tetraéderen túl 4 paralelepipedon is keletkezett és 6 ún. prizmatoid. Prizmatoidnak olyan síklapokkal határolt konvex testet nevezünk, amelynek összes csúcsa két párhuzamos síkban van, további lapjai pedig (konvex burokként) háromszögek vagy trapézok, esetleg paralelogrammák. Feladatunk prizmatoidjai ezt a feltételt kétféleképpen is kielégítik. Tekinthetők ferdén elmetszett paralelepipedonoknak is (úgy, hogy egy oldalél hossza 0 lesz). |
|