Kezdőlap


Feladat:	Gy.2813	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Gyula , Bartha Tünde , Beer Andrea , Csorba István , Czipó Béla , Duzmath Csaba , Duzmath Zsolt , Elek Péter , Erdélyi László , Ferencz Viktória , Fey Dániel , Hegedűs Viktor , Horváth Péter , Juhász Mihály , Kiss Márton , Koblinger Egmont , Kováts Antal , Nagy Katalin , Németh Tibor , Puskás Zsolt , Révai András , Séllei Béla , Sikolya Edit , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Valkó Benedek , Verbőczy Zsolt , Veres Tibor , Vörös Zoltán
Füzet:	1993/október, 311 - 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/december: Gy.2813

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a tetraéder belső pontja $P,$ ennek az oldallapoktól mért távolságai $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ , $d_{4}$ , a tetraéder magasságai és az oldallapok területei pedig rendre $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ , $m_{4}$ és $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ (ahol $d_{i}$ és $m_{i}$ a $T_{i}$ területű laphoz tartozik). Ha a $P$ pontot összekötjük a tetraéder csúcsaival, ezzel 4 olyan tetraéderre bontottuk, amelyek térfogatai, az ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} \frac{T_{1} d_{1}}{3}; \end{matrix}

továbbá

V = \frac{T_{i} m_{i}}{3},

azaz

T_{i} = \frac{3 V}{m_{i}} (i = 1,2,3,4) .

Ezt az előző összefüggésbe helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} V = V (\frac{d_{1}}{m_{1}} + \frac{d_{2}}{m_{2}} + \frac{d_{3}}{m_{3}} + \frac{d_{4}}{m_{4}}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 1 = \frac{d_{1}}{m_{1}} + \frac{d_{2}}{m_{2}} + \frac{d_{3}}{m_{3}} + \frac{d_{4}}{m_{4}} . \end{matrix}

(1)

Mivel a

P

ponton át a tetraéder oldallapjaival párhuzamos síkokat fektettünk, a keletkező kis tetraéderek mindegyik lapja párhuzamos az eredeti test egy-egy lapjával, ami tetraéderek esetén elégséges feltétele a hasonlóságnak. Tehát a négy kis tetraéder hasonló az eredetihez. Hasonló testek térfogataránya a (lineáris) hasonlósági arány köbe, így a kis tetraéderek és az eredeti tetraéder hasonlósági arányai:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{V_{1}}}{\sqrt[3]{V}}, \frac{\sqrt[3]{V_{2}}}{\sqrt[3]{V}}, \frac{\sqrt[3]{V_{3}}}{\sqrt[3]{V}}, \frac{\sqrt[3]{V_{4}}}{\sqrt[3]{V}} . \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy két tetraéder hasonlósági aránya megegyezik a megfelelő magasságok arányával, valamint azt, hogy a kis tetraéderek

P

pontból induló magasságai éppen

d_{1}

d_{2}

d_{3}

d_{4}

, látjuk, hogy az előbb említett arányok rendre megegyeznek a

\begin{matrix} \frac{d_{1}}{m_{1}}; \frac{d_{2}}{m_{2}}; \frac{d_{3}}{m_{3}}; \frac{d_{4}}{m_{4}} \end{matrix}

értékekkel; innen (1) alapján

\begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{V_{1}}}{\sqrt[3]{V}} + \frac{\sqrt[3]{V_{2}}}{\sqrt[3]{V}} + \frac{\sqrt[3]{V_{3}}}{\sqrt[3]{V}} + \frac{\sqrt[3]{V_{4}}}{\sqrt[3]{V}} = 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sqrt[3]{V_{1}} + \sqrt[3]{V_{2}} + \sqrt[3]{V_{3}} + \sqrt[3]{V_{4}} = \sqrt[3]{V} . \end{matrix}

Megjegyzés. Bár az ábráról látható, mégis felhívjuk a figyelmet: nem az egyes síkok által lemetszett tetraéderekről volt szó, hanem a feldarabolás részei közt találhatókról. 4 sík az eredeti tetraédert 14 részre osztotta fel, a vizsgált 4 kis tetraéderen túl 4 paralelepipedon is keletkezett és 6 ún. prizmatoid. Prizmatoidnak olyan síklapokkal határolt konvex testet nevezünk, amelynek összes csúcsa két párhuzamos síkban van, további lapjai pedig (konvex burokként) háromszögek vagy trapézok, esetleg paralelogrammák. Feladatunk prizmatoidjai ezt a feltételt kétféleképpen is kielégítik. Tekinthetők ferdén elmetszett paralelepipedonoknak is (úgy, hogy egy oldalél hossza 0 lesz).