Feladat: Gy.2813 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh Gyula ,  Bartha Tünde ,  Beer Andrea ,  Csorba István ,  Czipó Béla ,  Duzmath Csaba ,  Duzmath Zsolt ,  Elek Péter ,  Erdélyi László ,  Ferencz Viktória ,  Fey Dániel ,  Hegedűs Viktor ,  Horváth Péter ,  Juhász Mihály ,  Kiss Márton ,  Koblinger Egmont ,  Kováts Antal ,  Nagy Katalin ,  Németh Tibor ,  Puskás Zsolt ,  Révai András ,  Séllei Béla ,  Sikolya Edit ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Valkó Benedek ,  Verbőczy Zsolt ,  Veres Tibor ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1993/október, 311 - 313. oldal  PDF file
Témakör(ök): Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/december: Gy.2813

Egy V térfogatú tetraéder egy belső pontján keresztül a tetraéder oldallapjaival párhuzamos síkokat fektettünk. A keletkezett 4 kis tetraéder térfogata V1, V2, V3, V4.
Mutassuk meg, hogy
V3=V13+V23+V33+V43.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a tetraéder belső pontja P, ennek az oldallapoktól mért távolságai d1, d2, d3, d4, a tetraéder magasságai és az oldallapok területei pedig rendre m1, m2, m3, m4 és T1, T2, T3, T4 (ahol di és mi a Ti területű laphoz tartozik). Ha a P pontot összekötjük a tetraéder csúcsaival, ezzel 4 olyan tetraéderre bontottuk, amelyek térfogatai, az ismert összefüggés szerint

T1d13;T2d23;T3d33;T4d43,tehátV=T1d13+T2d23+T3d33+T4d43;
továbbá V=Timi3, azaz Ti=3Vmi(i=1,2,3,4). Ezt az előző összefüggésbe helyettesítve kapjuk, hogy
V=V(d1m1+d2m2+d3m3+d4m4),
vagyis
1=d1m1+d2m2+d3m3+d4m4.(1)

 
 

Mivel a P ponton át a tetraéder oldallapjaival párhuzamos síkokat fektettünk, a keletkező kis tetraéderek mindegyik lapja párhuzamos az eredeti test egy-egy lapjával, ami tetraéderek esetén elégséges feltétele a hasonlóságnak. Tehát a négy kis tetraéder hasonló az eredetihez. Hasonló testek térfogataránya a (lineáris) hasonlósági arány köbe, így a kis tetraéderek és az eredeti tetraéder hasonlósági arányai:
V13V3,V23V3,V33V3,V43V3.

Figyelembe véve, hogy két tetraéder hasonlósági aránya megegyezik a megfelelő magasságok arányával, valamint azt, hogy a kis tetraéderek P pontból induló magasságai éppen d1, d2, d3, d4, látjuk, hogy az előbb említett arányok rendre megegyeznek a
d1m1;d2m2;d3m3;d4m4
értékekkel; innen (1) alapján
V13V3+V23V3+V33V3+V43V3=1,
azaz
V13+V23+V33+V43=V3.

Megjegyzés. Bár az ábráról látható, mégis felhívjuk a figyelmet: nem az egyes síkok által lemetszett tetraéderekről volt szó, hanem a feldarabolás részei közt találhatókról. 4 sík az eredeti tetraédert 14 részre osztotta fel, a vizsgált 4 kis tetraéderen túl 4 paralelepipedon is keletkezett és 6 ún. prizmatoid. Prizmatoidnak olyan síklapokkal határolt konvex testet nevezünk, amelynek összes csúcsa két párhuzamos síkban van, további lapjai pedig (konvex burokként) háromszögek vagy trapézok, esetleg paralelogrammák. Feladatunk prizmatoidjai ezt a feltételt kétféleképpen is kielégítik. Tekinthetők ferdén elmetszett paralelepipedonoknak is (úgy, hogy egy oldalél hossza 0 lesz).