A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először megmutatjuk, hogy minden háromszög felosztható hegyesszögű háromszögre. Ha az háromszög hegyesszögű, akkor középvonalaival feloszthatjuk négy egybevágó háromszögre, amelyek mindegyike az eredetihez hasonló. Ezek egyikét ismét négy hegyesszögű háromszögre osztva az eredeti háromszöget hegyesszögű háromszögre osztottuk.
1. ábra Ha az háromszög derékszögű vagy tompaszögű, akkor a következő módszert alkalmazzuk (1. ábra). Tegyük fel, hogy a nem hegyesszögű csúcs. Legyen a beírt kör középpontja, és rajzoljuk meg a beírt kört. Húzzuk meg a beírt körnek az és szakaszokra merőleges érintőit, ezeknek az oldalakkal való metszéspontjai , , , az ábrának megfelelően. Így két egyenlő szárú háromszöghöz ‐ az és háromszögekhez ‐ valamint az érintőötszöghöz jutunk. Ez utóbbi háromszögre bontható az pontból a csúcspontokba vezető szakaszokkal. Ezek a szakaszok felezik az ötszög szögeit, amelyek tompaszögek (illetve a csúcsnál lehet derékszög is). Ezek alapján | | hasonlóan . Így , tehát az háromszög hegyesszögű. Hasonlóan mutathatjuk meg, hogy a , , , háromszögek is hegyesszögűek, vagyis az háromszöget hegyesszögű háromszögre osztottuk. A feladat második részéhez először néhány egyszerű megállapítást teszünk. 1. Egy tompaszögű háromszög mindig felbontható tompaszögű háromszögre a 2/a ábrán látható módon, és ezt a felbontást tovább folytatva láthatjuk, hogy minden tompaszögű háromszög felbontható tetszőleges számú tompaszögű háromszögre.
2/a ábra 2. Minden nem tompaszögű háromszög felbontható tompaszögű háromszögre: Vegyük a háromszög legnagyobb oldalához tartozó magasságvonal magasságpont és talppont közé eső szakaszának egy pontját, e pontot a csúcsokkal összekötő szakaszok éppen egy ilyen felbontást adnak (2/b ábra).
2/b ábra Mindezeket figyelembe véve láthatjuk, hogy esetén minden háromszög felbontható tompaszögű háromszögre (speciálisan -re is), például a következő módon: Először felosztjuk az háromszöget három tompaszögű háromszögre, majd a kapott egyik háromszöget tovább tompaszögű háromszögre (3. ábra).
3. ábra Megjegyzések. 1. esetén minden háromszög felbontható hegyesszögű háromszögre. -re ezt megmutattuk; esetén pedig bontsuk fel a háromszögünket egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszögre (ezt minden háromszögnél megtehetjük), majd ezt a felbontást ismételjük meg minden lépésben a kapott tompaszögű háromszögre egészen addig, amíg nem kapunk hegyesszögű és tompaszögű háromszöget az eredeti háromszög belsejében; ekkor a tompaszögű háromszöget hegyesszögűre bontva éppen egy kívánt felosztást kapunk. 2. Nyilvánvaló, hogy esetén semelyik hegyesszögű háromszög sem bontható fel tompaszögűre. Lényegesen nehezebb belátni a következő állítást: ha , akkor se a tompaszögű, se a derékszögű háromszögek nem oszthatók fel hegyesszögű háromszögre. |