Kezdőlap


Feladat:	Gy.2788	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Braun Gábor , Németh Tibor
Füzet:	1993/február, 72 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Konstruktív megoldási módszer, Középvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2788

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy minden $A B C$ háromszög felosztható $7$ hegyesszögű háromszögre.
Ha az $A B C$ háromszög hegyesszögű, akkor középvonalaival feloszthatjuk négy egybevágó háromszögre, amelyek mindegyike az eredetihez hasonló. Ezek egyikét ismét négy hegyesszögű háromszögre osztva az eredeti $A B C$ háromszöget $7$ hegyesszögű háromszögre osztottuk.

1. ábra

Ha az

A B C

háromszög derékszögű vagy tompaszögű, akkor a következő módszert alkalmazzuk (1. ábra). Tegyük fel, hogy

C

a nem hegyesszögű csúcs. Legyen

O

a beírt kör középpontja, és rajzoljuk meg a beírt kört. Húzzuk meg a beírt körnek az

O A

és

O B

szakaszokra merőleges érintőit, ezeknek az oldalakkal való metszéspontjai

A_{1}

A_{2}

B_{1}

B_{2}

az ábrának megfelelően. Így két egyenlő szárú háromszöghöz ‐ az

A_{1} A A_{2}

és

B_{1} B B_{2}

háromszögekhez ‐ valamint az

A_{1} A_{2} C B_{2} B_{1}

érintőötszöghöz jutunk. Ez utóbbi

5

háromszögre bontható az

O

pontból a csúcspontokba vezető szakaszokkal. Ezek a szakaszok felezik az ötszög szögeit, amelyek tompaszögek (illetve a

C

csúcsnál lehet derékszög is).
Ezek alapján

\begin{matrix} O A_{1} B_{1} ∢ = \frac{1}{2} A_{2} A_{1} B_{1} ∢, ezért 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} < O A_{1} B_{1} ∢ < \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}, \end{matrix}

hasonlóan

45^{\circ} < A B_{1} A_{1} < 90^{\circ}

. Így

B_{1} O A_{1} ∢ = 180^{\circ} - O A_{1} B_{1} ∢ - O B_{1} A_{1} ∢ < 90^{\circ}

, tehát az

A_{1} O B_{1}

háromszög hegyesszögű. Hasonlóan mutathatjuk meg, hogy a

B_{1} O B_{2}

B_{2} O C_{1}

C O A_{2}

A_{2} O A_{1}

háromszögek is hegyesszögűek, vagyis az

A B C

háromszöget

7

hegyesszögű háromszögre osztottuk.
A feladat második részéhez először néhány egyszerű megállapítást teszünk.
1. Egy tompaszögű háromszög mindig felbontható

2

tompaszögű háromszögre a 2/a ábrán látható módon, és ezt a felbontást tovább folytatva láthatjuk, hogy minden tompaszögű háromszög felbontható tetszőleges számú tompaszögű háromszögre.

2/a ábra

2. Minden nem tompaszögű háromszög felbontható

3

tompaszögű háromszögre: Vegyük a háromszög legnagyobb oldalához tartozó magasságvonal magasságpont és talppont közé eső szakaszának egy

P

pontját, e pontot a csúcsokkal összekötő szakaszok éppen egy ilyen felbontást adnak (2/b ábra).

2/b ábra

Mindezeket figyelembe véve láthatjuk, hogy

n ⩾ 3

esetén minden

A B C

háromszög felbontható

n

tompaszögű háromszögre (speciálisan

n = 7

-re is), például a következő módon: Először felosztjuk az

A B C

háromszöget három tompaszögű háromszögre, majd a kapott egyik háromszöget tovább

n - 2

tompaszögű háromszögre (3. ábra).

3. ábra

Megjegyzések. 1.

n ⩾ 7

esetén minden háromszög felbontható

n

hegyesszögű háromszögre.

n = 7

-re ezt megmutattuk;

n > 7

esetén pedig bontsuk fel a háromszögünket egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszögre (ezt minden háromszögnél megtehetjük), majd ezt a felbontást ismételjük meg minden lépésben a kapott tompaszögű háromszögre egészen addig, amíg nem kapunk

n - 7

hegyesszögű és

1

tompaszögű háromszöget az eredeti háromszög belsejében; ekkor a tompaszögű háromszöget

7

hegyesszögűre bontva éppen egy kívánt felosztást kapunk.
2. Nyilvánvaló, hogy

n < 3

esetén semelyik hegyesszögű háromszög sem bontható fel

n

tompaszögűre.
Lényegesen nehezebb belátni a következő állítást: ha

n < 7

, akkor se a tompaszögű, se a derékszögű háromszögek nem oszthatók fel

n

hegyesszögű háromszögre.