Feladat: Gy.2788 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Braun Gábor ,  Németh Tibor 
Füzet: 1993/február, 72 - 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Konstruktív megoldási módszer, Középvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/szeptember: Gy.2788

Bizonyítsuk be, hogy minden háromszög felosztható 7 hegyesszögű háromszögre. Felosztható-e 7 tompaszögűre is?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy minden ABC háromszög felosztható 7 hegyesszögű háromszögre.
Ha az ABC háromszög hegyesszögű, akkor középvonalaival feloszthatjuk négy egybevágó háromszögre, amelyek mindegyike az eredetihez hasonló. Ezek egyikét ismét négy hegyesszögű háromszögre osztva az eredeti ABC háromszöget 7 hegyesszögű háromszögre osztottuk.

 
 

1. ábra
 

Ha az ABC háromszög derékszögű vagy tompaszögű, akkor a következő módszert alkalmazzuk (1. ábra). Tegyük fel, hogy C a nem hegyesszögű csúcs. Legyen O a beírt kör középpontja, és rajzoljuk meg a beírt kört. Húzzuk meg a beírt körnek az OA és OB szakaszokra merőleges érintőit, ezeknek az oldalakkal való metszéspontjai A1, A2, B1, B2 az ábrának megfelelően. Így két egyenlő szárú háromszöghöz ‐ az A1AA2 és B1BB2 háromszögekhez ‐ valamint az A1A2CB2B1 érintőötszöghöz jutunk. Ez utóbbi 5 háromszögre bontható az O pontból a csúcspontokba vezető szakaszokkal. Ezek a szakaszok felezik az ötszög szögeit, amelyek tompaszögek (illetve a C csúcsnál lehet derékszög is).
Ezek alapján
OA1B1=12A2A1B1,  ezért45=1290<OA1B1<12180=90,
hasonlóan 45<AB1A1<90. Így B1OA1=180-OA1B1-OB1A1<90, tehát az A1OB1 háromszög hegyesszögű. Hasonlóan mutathatjuk meg, hogy a B1OB2, B2OC1, COA2, A2OA1 háromszögek is hegyesszögűek, vagyis az ABC háromszöget 7 hegyesszögű háromszögre osztottuk.
A feladat második részéhez először néhány egyszerű megállapítást teszünk.
1. Egy tompaszögű háromszög mindig felbontható 2 tompaszögű háromszögre a 2/a ábrán látható módon, és ezt a felbontást tovább folytatva láthatjuk, hogy minden tompaszögű háromszög felbontható tetszőleges számú tompaszögű háromszögre.
 
 

2/a ábra
 

2. Minden nem tompaszögű háromszög felbontható 3 tompaszögű háromszögre: Vegyük a háromszög legnagyobb oldalához tartozó magasságvonal magasságpont és talppont közé eső szakaszának egy P pontját, e pontot a csúcsokkal összekötő szakaszok éppen egy ilyen felbontást adnak (2/b ábra).
 
 

2/b ábra
 

Mindezeket figyelembe véve láthatjuk, hogy n3 esetén minden ABC háromszög felbontható n tompaszögű háromszögre (speciálisan n=7-re is), például a következő módon: Először felosztjuk az ABC háromszöget három tompaszögű háromszögre, majd a kapott egyik háromszöget tovább n-2 tompaszögű háromszögre (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

Megjegyzések. 1. n7 esetén minden háromszög felbontható n hegyesszögű háromszögre. n=7-re ezt megmutattuk; n>7 esetén pedig bontsuk fel a háromszögünket egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszögre (ezt minden háromszögnél megtehetjük), majd ezt a felbontást ismételjük meg minden lépésben a kapott tompaszögű háromszögre egészen addig, amíg nem kapunk n-7 hegyesszögű és 1 tompaszögű háromszöget az eredeti háromszög belsejében; ekkor a tompaszögű háromszöget 7 hegyesszögűre bontva éppen egy kívánt felosztást kapunk.
2. Nyilvánvaló, hogy n<3 esetén semelyik hegyesszögű háromszög sem bontható fel n tompaszögűre.
Lényegesen nehezebb belátni a következő állítást: ha n<7, akkor se a tompaszögű, se a derékszögű háromszögek nem oszthatók fel n hegyesszögű háromszögre.