Feladat: Gy.2771 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Faragó Gergely 
Füzet: 1992/október, 312. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Pont körüli forgatás, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Körök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: Gy.2771

Az ábrán látható k1 és k2 körök koncentrikusak, az AB és CD egyenesek pedig párhuzamosak.
 
 

Igazoljuk, hogyha az AB egyenes a középponthoz közelebb helyezkedik el, akkor AB<CD.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen h, illetve H az AB, illetve CD egyenesek és a körök O középpontjának távolsága. Ekkor a feltételek szerint h<H. Legyen továbbá r a k1, R pedig a k2 kör sugara.

 
 

1. ábra
 

Az AB és a CD szakaszok hosszát Pitagorasz tételének segítségével számíthatjuk ki:

AB=R2-h2-r2-h2  ésCD=R2-H2-r2-H2.


Azaz (felhasználva az a-b=a2-b2a+b azonosságot):
AB=R2-r2R2-h2+r2-h2  és  CD=R2-r2R2-H2+r2-H2.
A két kifejezés számlálója azonos pozitív szám, míg H>h miatt AB nevezőjében a két tag nagyobb CD nevezőjének megfelelő tagjainál, ezért valóban AB<CD.
 

Faragó Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. Nyilván OAB>OCD, így az AB szakaszt O körül AOC szöggel elforgatva, B a CD egyenes túlsó pontján lévő B' pontba kerül. Így OCB'D konvex négyszög, ezért COD>COB'.
 
 

2. ábra
 

A COD és a COB' háromszögekben a CO oldal közös, és OD=OB', tehát a COD szöggel szemközti CD oldal hosszabb, mint a COB' szöggel szemközti CB'=AB.
Megjegyzés. A II. megoldásban kihasználtuk a kitűzési ábráról azt a ki nem mondott tényt, hogy az AB egyenes elválasztja O-t a CD-től. Az 1. ábra felvételéből indulva az ACB'D négyszög nem lenne konvex. Áttérhetnénk persze AB tükörképére, a vele párhuzamos átmérőre nézve.