Feladat: Gy.2766 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba István 
Füzet: 1992/november, 385. oldal  PDF file
Témakör(ök): Prímszámok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: Gy.2766

Bizonyítsuk be, hogy ha a és b különböző egész számok, akkor végtelen sok olyan n természetes szám létezik, amelyre a+n és b+n relatív prímek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két szám közül legyen b a nagyobbik; az n pedig olyan |a|-nál és |b|-nél is nagyobb természetes szám, amelyre b+n prímszám. Ekkor 1a+n<b+n teljesül. Nyilvánvaló, hogy b+n csak 1-gyel és önmagával osztható, a+n viszont nem osztható b+n-nel, hiszen kisebb nála. Így a+n és b+n relatív prímek. Ilyen n szám viszont végtelen sok van, mivel a prímszámok száma végtelen.

 

Csorba István (Győr, Révai Miklós Gimn., I. o. t.)