Kezdőlap


Feladat:	Gy.2742	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Gergely , Dőtsch András , Heim László , Heim László , Koltai Róbert , Kotosz Balázs , Lengyel Csaba , Maróti Attila , Németh Tamás , Szeredi Tibor , Valkó Benedek , Zalavári Balázs
Füzet:	1992/május, 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Esetvizsgálat, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: Gy.2742

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük a feltételnek eleget tevő számokat $10 x + y$ alakban, ahol $1 \leq x \leq 9 és 0 \leq y \leq 9,$ egész számok. Ahhoz, hogy meg tudjuk mondani a nála héttel nagyobb szám jegyeinek összegét, három esetet célszerű megvizsgálnunk.
1. eset: Hetet hozzáadva nem változik a tízesek száma, azaz $y \leq 2.$ Ekkor a feltétel szerint

\begin{matrix} 10 x + y = 6 \cdot (x + y + 7), 4 x = 5 y + 42. \end{matrix}

Azonban

x \leq 9

y \geq 0

miatt ez nem teljesülhet.
2 eset: Hetet hozzáadva már változik a tízesek száma

y \geq 3,

de még kétjegyű marad az eredmény. Ekkor

\begin{matrix} 10 x + y = 6 \cdot (x + 1 + y + 7 - 10), 4 x = 5 y - 12. \end{matrix}

Láthatóan

4 | y, így y \geq 3

miatt

y

csak 4 vagy 8 lehet. Ebből

x_{1} = \frac{5 \cdot 4 - 12}{4} = 2, x_{2} = \frac{5 \cdot 8 - 12}{4} = 7.

Kaptunk tehát két számot: 24 és 78, és ezek teljesítik is a feladat követelményeit.
3. eset:

10 x + y + 7 \geq 100,

azaz

x = 9, y \geq 3.

Ekkor a feltételből

\begin{matrix} 90 + y = 6 \cdot (1 + 0 + y + 7 - 10), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 102 = 5 y, \end{matrix}

ami lehetetlen.