Feladat: Gy.2742 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  Dőtsch András ,  Heim László ,  Heim László ,  Koltai Róbert ,  Kotosz Balázs ,  Lengyel Csaba ,  Maróti Attila ,  Németh Tamás ,  Szeredi Tibor ,  Valkó Benedek ,  Zalavári Balázs 
Füzet: 1992/május, 210. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Esetvizsgálat, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/január: Gy.2742

Mely kétjegyű pozitív egész számokra teljesül, hogy a szám hatszor akkora, mint a nála héttel nagyobb szám jegyeinek összege?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük a feltételnek eleget tevő számokat 10x+y alakban, ahol 1x9és0y9, egész számok. Ahhoz, hogy meg tudjuk mondani a nála héttel nagyobb szám jegyeinek összegét, három esetet célszerű megvizsgálnunk.
1. eset: Hetet hozzáadva nem változik a tízesek száma, azaz y2. Ekkor a feltétel szerint

10x+y=6(x+y+7),4x=5y+42.
Azonban x9, y0 miatt ez nem teljesülhet.
2 eset: Hetet hozzáadva már változik a tízesek száma y3, de még kétjegyű marad az eredmény. Ekkor
10x+y=6(x+1+y+7-10),4x=5y-12.

Láthatóan 4|y,ígyy3 miatt y csak 4 vagy 8 lehet. Ebből x1=54-124=2,x2=58-124=7.
Kaptunk tehát két számot: 24 és 78, és ezek teljesítik is a feladat követelményeit.
3. eset: 10x+y+7100, azaz x=9,y3. Ekkor a feltételből
 

90+y=6(1+0+y+7-10),
azaz
102=5y,
ami lehetetlen.