Feladat: Gy.2735 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Arató Gabriella ,  Baksa Klára ,  Bánhalmi Árpád ,  Barna Géza ,  Csorba István ,  Dőtsch András ,  György András ,  Horváth Réka ,  Koblinger Egmont ,  Kóczy László ,  Kupás Nándor ,  Laborczi Péter ,  Lengyel András ,  Lévai Ákos ,  Maróti Attila ,  Matuszka Kristóf ,  Németh Zoltán ,  Pete Gábor ,  Petró Gábor ,  Rákóczi Bálint ,  Révai András ,  Sikolya Edit ,  Szabó László ,  Szádeczky-Kardoss Szabolcs ,  Szeredi Tibor ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Weiner Mihály ,  Závoti Zoltán 
Füzet: 1992/április, 165 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Egyéb feladványok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/december: Gy.2735

Egy 25×25-ös táblázat minden mezejébe a +1 és -1 számok valamelyikét írjuk. Az egyes sorokban, illetve oszlopokban álló elemek szorzatát leírjuk a sorok, illetve oszlopok végére, majd összeadjuk őket. Mutassuk meg, hogy ez az összeg nem nulla.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, mi történik akkor, ha a táblázat egyetlen tetszőleges elemét az ellentettjére változtatjuk. Ekkor az elemet tartalmazó sorban, illetve oszlopban álló számok szorzata is az ellentettjére változik. Emiatt a teljes összeg csökkenhet 4-gyel, (ha a megváltoztatott elem sorában és oszlopában is +1 volt a szorzat), nőhet 4-gyel (ha mindkét szorzat -1 volt), és maradhat változatlan (ha a szorzatok előjele ellentétes volt). Tehát a feladat szövegében szereplő összeg 4-gyel osztható számmal változik egy ilyen átalakítás után.
A csupa egyest tartalmazó táblázatra ez az összeg nyilván 50. A fent leírt csere néhányszori alkalmazásával ebből a táblázatból kiindulva megkaphatunk bármilyen másikat. Mivel a kezdeti összeg 4k+2 alakú, és egy csere során 4-gyel osztható számmal változik, ezért az összeg mindig csak 4k+2 alakú lehet. Azonban a nulla nem ilyen, tehát a kérdéses összeg valóban nem lehet nulla.

 
Megjegyzés. Könnyen látható, hogy minden -50 és 50 közé eső 4k+2 alakú szám elő is fordul összegként; például úgy, hogy a főátlóba megfelelő számú -1-et, máshová pedig csupa +1-et írunk.