Kezdőlap


Feladat:	Gy.2728	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Gergely , Kender Laura , Timár Ádám , Valkó Benedek
Füzet:	1992/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatvány számjegyei, Binomiális együtthatók, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2728

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden egész szám felírható $10 a + b$ alakban, ahol $a, b$ egész számok és $0 \leq b \leq 9$ . Ennek a huszadik hatványa a binomiális tétel alapján

\begin{matrix} {(10 a)}^{20} + (\binom{20}{1}) \cdot {(10 a)}^{19} \cdot b + ... + (\binom{20}{19}) (10 a) \cdot b^{19} + b^{20} . \end{matrix}

Itt az első 19 tag nyilván osztható százzal, sőt a huszadik is:

(\binom{20}{19}) \cdot (10 a) \cdot b^{19} = 200 \cdot a \cdot b^{19} .

Tehát

{(10 a + b)}^{20}

utolsó két jegye megegyezik

b^{20}

utolsó két jegyével, és

0 \leq b \leq 9

. Számoljuk ki ezeket!
Nyilván

0^{20}

utolsó két jegye

00

1^{20}

pedig

01

-re végződik. Továbbá

2^{20} = 1 048 576

, ennek utolsó két jegye

76

. Az is látszik, hogy

5^{20} 25

-re végződik, mert

5^{2} = 25

, s ebből rendre az utolsó két jegy

5

-tel való szorzásával kapjuk

5

magasabb hatványainak utolsó két jegyét; de

5 \cdot 25 = 125

25

-re végződik, ezért

5^{20}

is.
A binomiális tételből

{(10 - b)}^{10} - b^{10} = 10^{10} - (\binom{10}{1}) \cdot 10^{9} \cdot b + (\binom{10}{2}) \cdot 10^{8} \cdot b^{2} - ... - (\binom{10}{9}) \cdot 10 \cdot b^{9}

, és a fentihez hasonlóan ez osztható százzal. Tehát

b^{10}

ugyanarra a két jegyre végződik, mint

{(10 - b)}^{10}

, és így

b^{20}

és

{(10 - b)}^{20}

utolsó két jegye is megegyezik. Ebből máris adódik, hogy

9^{20}

01

-re végződik,

8^{20}

pedig

76

-ra.

b = 3

esetén is

3^{20} = 9^{10}

, és

9^{10}

utolsó két jegye megegyezik

1^{10}

utolsó két jegyével, vagyis

3^{20}

01

-re végződik. Ekkor ugyanez áll

7^{20}

-ra is.
Nézzük még a

b = 4

esetet. Erre

4^{20} = {(2^{20})}^{2}

, ám

2^{20}

utolsó két jegye

76

, így

4^{20}

ugyan arra a két jegyre végződik, mint

76^{2}

, de

76^{2} = 5776

, tehát

4^{20}

utolsó két jegye

76

, s így

6^{20}

-é is az.
Összefoglalva: egy egész szám huszadik hatványának utolsó két jegye

00

01

25

76

valamelyike lehet.