Feladat: Gy.2728 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  Kender Laura ,  Timár Ádám ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/április, 163 - 164. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatvány számjegyei, Binomiális együtthatók, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/november: Gy.2728

Mi lehet az utolsó két számjegye egy egész szám huszadik hatványának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden egész szám felírható 10a+b alakban, ahol a,b egész számok és 0b9. Ennek a huszadik hatványa a binomiális tétel alapján

(10a)20+(201)(10a)19b+...+(2019)(10a)b19+b20.
Itt az első 19 tag nyilván osztható százzal, sőt a huszadik is: (2019)(10a)b19=200ab19. Tehát (10a+b)20 utolsó két jegye megegyezik b20 utolsó két jegyével, és 0b9. Számoljuk ki ezeket!
Nyilván 020 utolsó két jegye 00, 120 pedig 01-re végződik. Továbbá 220=1048576, ennek utolsó két jegye 76. Az is látszik, hogy 52025-re végződik, mert 52=25, s ebből rendre az utolsó két jegy 5-tel való szorzásával kapjuk 5 magasabb hatványainak utolsó két jegyét; de 525=125 is 25-re végződik, ezért 520 is.
A binomiális tételből(10-b)10-b10=1010-(101)109b+(102)108b2-...-(109)10b9, és a fentihez hasonlóan ez osztható százzal. Tehát b10 ugyanarra a két jegyre végződik, mint (10-b)10, és így b20 és (10-b)20 utolsó két jegye is megegyezik. Ebből máris adódik, hogy 920 is 01-re végződik, 820 pedig 76-ra. b=3 esetén is 320=910, és 910 utolsó két jegye megegyezik 110 utolsó két jegyével, vagyis 320 is 01-re végződik. Ekkor ugyanez áll 720-ra is.
Nézzük még a b=4 esetet. Erre 420=(220)2, ám 220 utolsó két jegye 76, így 420 ugyan arra a két jegyre végződik, mint 762, de 762=5776, tehát 420 utolsó két jegye 76, s így 620-é is az.
Összefoglalva: egy egész szám huszadik hatványának utolsó két jegye 00, 01 25, 76 valamelyike lehet.