Kezdőlap


Feladat:	Gy.2720	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csorba Péter , Dombi Gergely , Hajba Tamás , Hegedűs Márton , Mészáros Mariann , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1992/március, 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: Gy.2720

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Végezzük el a négyzetre emeléseket. Ezután a tagokat célszerűen csoportosítva fogjuk összeadni.
$1 / k^{2}$ -es tag éppen $k$ darab lesz: $a_{1}^{2}$ -ben, $a_{2}^{2}$ -ben, $..., a_{k}^{2}$ ,-ben. Ezek összege $k \cdot 1 / k^{2} = 1 / k$ ; majd az összes $k$ -ra nézve $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{100} = a_{1}$ .
Tekintsük most a ,,vegyes'' tagokat. Legyen $j < i$ ; ekkor $2 \cdot \frac{1}{j \cdot i}$ az összes olyan $a_{k}^{2}$ -ben szerepel, amelyben $k \leq j$ . Így ezen tagok összege $j \cdot \frac{2}{j \cdot i} = \frac{2}{i}$ . Adott $i$ -hez $i - 1$ darab olyan $j$ szám van, amelyre $j < i$ , ezért a rögzített $i$ -hez tartozó lehetséges $\frac{2}{j \cdot i}$ alakú tagok összege $(i - 1) \cdot \frac{2}{i} = 2 - \frac{2}{i}$ . Az összes $i$ -re képezve az összeget,

\begin{matrix} (2 - \frac{2}{1}) + (2 - \frac{2}{2}) + ... + (2 - \frac{2}{100}) = 200 - 2 \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{100}) = 200 - 2 \cdot a_{1} \end{matrix}

adódik.
Ezek alapján

a_{1} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{100}^{2} = a_{1} + a_{1} + 200 - 2 a_{1} = 200.

Hajba Tamás (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)